IMO 1984 n°1

[Euler]

@euler:credo che tu abbia sbagliato i calcoli, il bunching non ti basta, ma potresti usare schur...

Sì è vero scusate Ho sbagliato per 2 volte a sviluppare il trinomio. Comunque in effetti si può sistemare il tutto con schur, grazie

[Claudio.]

"... e allora arrivò patatone ad illuminarci il cammino"

bon, un prodotto di numeir reali si massimizza quando tutti i fattori sono uguali tra loro e quindi hai finito, perchè la cosa si riduce a dire che $x \ge \frac{1}{3}$ che è vero: bravo paga !

Ma non bisogna minimizzare?
Comunque la 1 si fa più semplicemente scrivendo:
$\frac1x+\frac1y+\frac1z\ge2$ e ponendo $x\le y\le z$ per simmetria.

[Mist]

Risuscito questo post perchè ho trovato una soluzione caruccia alla seconda disuguaglianza Riprendo la riscrittura ceh avevo proposto:
$yz + zx + xy − 2xyz = (yz + zx + xy)\cdot 1 − 2xyz = (yz + zx + xy)\cdot (x+y+z) − 2xyz = xyz+yz^2 + zy^2+xy^2 + xz^2 + yx^2 $ $+zx^2 = xyz+(x+y)z^2+(z+x)y^2+(y+z)x^2 = xyz +(1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2 \geq 0$

Ho da dimostrare che $\displaystyle xyz +(1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2 \leq \frac{7}{27}$. Applicando jensen, si ha che $\displaystyle \frac{(1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2}{3} \leq \left ( 1-\frac{x+y+z}{3} \right) \left( \frac{x+y+z}{3}\right) ^2 = \frac{2}{27}$ e quindi $\displaystyle (1-z)z^2+(1-y)y^2+(1-x)x^2 \leq \frac{2}{9}$(1). D'altro canto per AM-GM si ha che $\displaystyle xyz \leq \left( \frac{x+y+z}{3} \right) ^3 = \frac{1}{27}$(2). Sommando la (1) e al (2) si ottiene la tesi.