Staffetta Algebra 29 (Funzionale)

[Mist]

Trovare tutte le funzioni f dai reali ai reali tali che $f(x^2+f(y)) = y+f(x)^2$ per ogni coppia di reali x,y.

[Giuseppe R]

Pongo x=0, f(0) = k, allora ottengo:
$ f(f(y)) = y + k^2 $
Quindi f(f(.)) è bigetiva, da cui segue che f(.) è bigettiva.
Sia a t. c. f(a)=0 (esiste ed è unica). Pongo x=y=a ottenendo:
$ f(a^2)=a $
$ f(f(a^2)) = f(a) $
Ma f(a) = 0 per ipotesi e $ f(f(a^2)) = a^2 + k^2 $ quindi $ a^2 + k^2 = 0 $ che mi da a=k=0 quindi f(0)=0 e f(f(y))=y per ogni y.
Ponendo y = 0 ottengo $ f(x^2) = [f(x)]^2 $ per ogni x, quindi:
$ [f(x)]^2 = [f(-x)]^2 $ pertanto $ f(-x) = -f(x) $ per la bigettività.
Ora pongo y=f(z) e ottengo:
$ f(x^2 + z) = f(z) + [f(x)]^2 $
MONOTONIA CRESCENTE!
Ponendo $ x = \sqrt{w} $ e y come prima, con w e z reali positivi, ho che:
$ f(w+z) = f(w) + f(z) $
Posso applicare Cauchy per la monotnia che mi da f(x) = x nei reali positivi.
Per lo 0 già lo so.
Per i negativi mi basta sfruttare f(-x)=-f(x)

Finished

[Mist]

Eccellente, mi sembra giusta

[Veluca]

Posso applicare Cauchy per la monotnia che mi da f(x) = x nei reali positivi.
Per lo 0 già lo so.
Per i negativi mi basta sfruttare f(-x)=-f(x)

Non vorrei dire castronate ma mi pare che ti basti anche solo cauchy (che tra parentesi ti dà f(x)=ax, dovresti sostituire per esserne certo): a quanto ricordo vale anche sui negativi.

[Giuseppe R]

Posso applicare Cauchy per la monotnia che mi da f(x) = x nei reali positivi.
Per lo 0 già lo so.
Per i negativi mi basta sfruttare f(-x)=-f(x)

Non vorrei dire castronate ma mi pare che ti basti anche solo cauchy (che tra parentesi ti dà f(x)=ax, dovresti sostituire per esserne certo): a quanto ricordo vale anche sui negativi.

Non ne ero sicuro quindi ho preferito fare così. Comunque ora cerco un altro problema per la staffetta.

[fph]

Posso applicare Cauchy per la monotnia che mi da f(x) = x nei reali positivi.
Per lo 0 già lo so.
Per i negativi mi basta sfruttare f(-x)=-f(x)

Non vorrei dire castronate ma mi pare che ti basti anche solo cauchy (che tra parentesi ti dà f(x)=ax, dovresti sostituire per esserne certo): a quanto ricordo vale anche sui negativi.

Gli basterebbe Cauchy, ma nota che ha dimostrato che $f(w+z)=f(w)+f(z)$ solo per $w\geq 0$, quindi non può applicarlo tout court. Ah, dimenticarsi i quantificatori... la fonte di errori n.1 nelle funzionali. E già che ci siamo citiamo anche la fonte di punti persi n.1, che è dimenticarsi la verifica.

[Veluca]

e chi l'aveva visto che l'aveva dimostrato solo per x>0 XD
sì, ribadisco la necessarietà dei quantificatori

[Giuseppe R]

Ah, dimenticarsi i quantificatori... la fonte di errori n.1 nelle funzionali. E già che ci siamo citiamo anche la fonte di punti persi n.1, che è dimenticarsi la verifica.

In effetti si vedeva che non era una dimostrazione fatta "ad hoc" e avrei dovuto perderci più tempo a renderla ben fatta, ma spero si capisca lo stesso.

[Giuseppe R]

Qui il nuovo problema:
viewtopic.php?f=13&t=15498