Balkan 1984

[Mist]

Dat $(x_1,x_2,x_3, \dots , x_n) $ reali positivi tali che $\sum_{i=1}^{n}x_i =1$, dimostrare che vale $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{2-x_i} \ge \frac{n}{2n-1}$.

io l'ho risolta in modo che definirei un attimino rocambolesco Non so nemmeno se è giusto come ho fatto...

[Giuseppe R]

Ti sei dimenticato di dire che $ x_1 + ... + x_n = 1 $.

[Euler]

Visto che la somma degli $x_i$ è 1 e $f(x):=\frac{1}{2-x}$ è convessa per x positivi e minori di 1, posso usare Jensen, da cui
$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{2-x_i}\geq \frac{1}{2-(x_1^2+...+x_n^2)}$
Ora uso il QM-AM:
$\displaystyle\frac{1}{2-(x_1^2+...+x_n^2)}\geq \frac{1}{2-\frac{1}{n}}=\frac{n}{2n-1}$

[Mist]

@Giuseppe: Giusto, chiedo scusa. Edito

Bravo Euler per la soluzione !
Io controllando la mia mi sono accorto che era sbagliata

[ale.b]

Ma non basta porre $f(x):=\frac{x}{2-x}$ e poi applicare Jensen da lì?
$f$ è comunque convessa e si finisce senza altre disuguaglianze!

[Euler]

Sì in effetti si fa prima