Intersezione di due circonferenze

[Mike]

Due circonferenze di raggio 1 passano l'una per il centro dell'altra. Qual'è il lato del quadrato inscritto nella loro intersezione?

[staffo]

è per caso $ r \sqrt {2-\sqrt{2}} $ ?

[Mike]

Non mi torna, forse sbaglio io. Potresti scrivere i passaggi?

[staffo]

Niente, ho sbagliato io, ho utilizzato gli angoli alla circonferenza sulla circonferenza sbagliata (erroraccio). Domani ricalcolo bene il tutto e vedo cosa mi viene.

[doiug.8]

Due circonferenze di raggio 1 passano l'una per il centro dell'altra. Qual'è il lato del quadrato inscritto nella loro intersezione?

Sto a casa con la febbre, quindi eventuali cazzate sono perdonate!
La soluzione è $ \frac{\sqrt{7}-1}{2} $

In generale se due circonferenze di raggio $ r $ distano $ d $, con $ d<2r $, il lato del quadrato inscritto nella loro intersezione vale $ \frac{\sqrt{8r^2-d^2}-d}{2} $

[Mike]

Giusto (o, almeno, coincide col mio risultato). Che procedimento hai usato?

[doiug.8]

Giusto (o, almeno, coincide col mio risultato). Che procedimento hai usato?

Ho applicato Pitagora al triangolo evidenziato in figura!

[staffo]

Anche a me è venuto lo stesso risultato con un procedimento diversino.

Ho centrato gli assi cartesiano su una circonferenza $ X^2 + Y^2 = 1 $

In $ x=\frac{1}{2} $ ho tracciato le diagonali del quadrato (che formano angoli di 45 gradi con l'asse x ovviamente per simmetria dell'intersezione delle due circonferenze in cui sono inscritti), e intersecando l'equazione di una delle diagonali $ y = x - \frac{1}{2} $ con la circoneferza ottengo la $ x $ dell'intersezione a cui, sottraendo $ \frac{1}{2} $ (la x dove inizia la diagonale diciamo), risulta $ \frac{\sqrt{7}-1}{4} $, che è il valore di mezzo lato (se si fa la figura si vede bene cosa ho fatto)

[doiug.8]

Anche a me è venuto lo stesso risultato con un procedimento diversino.

Ho centrato gli assi cartesiano su una circonferenza $ X^2 + Y^2 = 1 $

In $ x=\frac{1}{2} $ ho tracciato le diagonali del quadrato (che formano angoli di 45 gradi con l'asse x ovviamente per simmetria dell'intersezione delle due circonferenze in cui sono inscritti), e intersecando l'equazione di una delle diagonali $ y = x - \frac{1}{2} $ con la circoneferza ottengo la $ x $ dell'intersezione a cui, sottraendo $ \frac{1}{2} $ (la x dove inizia la diagonale diciamo), risulta $ \frac{\sqrt{7}-1}{4} $, che è il valore di mezzo lato (se si fa la figura si vede bene cosa ho fatto)

Si, ho capito cosa hai fatto! Però la geometria analitica (almeno in ambito olimpico) di solito è l'ultima spiaggia.....

[amatrix92]

Si, ho capito cosa hai fatto! Però la geometria analitica (almeno in ambito olimpico) di solito è l'ultima spiaggia.....

Non è detto! E' un ultima spiaggia quando hai da fare una marea di conti, ma riuscire a vedere una soluzione rapida in analitica come in questo caso non è un ultima spiaggia !

[doiug.8]

Non è detto! E' un ultima spiaggia quando hai da fare una marea di conti, ma riuscire a vedere una soluzione rapida in analitica come in questo caso non è un ultima spiaggia !

Sarà! Comunque per me è l'ultima cosa a cui penso.....poi ognuno fa un po' come gli pare.....

[Kopernik]

Non è detto! E' un ultima spiaggia quando hai da fare una marea di conti, ma riuscire a vedere una soluzione rapida in analitica come in questo caso non è un ultima spiaggia !

...un'ultima...

[Mike]

e se chiedessi di trovare il rettangolo di area massima?

[staffo]

beh, ma qui la geometria analitica era facile da applicare (circonefrenza di raggio uno e retta con coefficiente angolare 1.

Oltretutto non sapevo come fare in geometria e per calcolare le lunghezze poichè sapevo tutto la geometria analitica la ho trovata utilissima e immediata.

per il rettabgolo ci penso...

[staffo]

Per il rettangolo ho trovato una soluzione, purtroppo però il coefficiente angolare risulta incalcolabile (calcolato con wolfram viene un risultato non affatto immediato)

Ho considerato la figura di prima, con il coefficiente angolare della retta secante non 1 ma $ m $, in modo tale da doverlo trovare (sappiamo che la retta comunque passa per quel punto)

Interseco dunque il fascio di rette passanti per il punto $ (\frac{1}{2}, 0 ) $ con la circonferenza, e come prima trovo le coordinate del valore $ Y $ e le coordinate del valore $ X $. A $ X $ sottraggo $ \frac{1}{2} $ e trovo il valore di metà della base (come prima, solo con la m incognita). La $ Y $ invece mi fornisce il valore di mezza Altezza. a questo punto moltiplico i valori ottenuti e il massimo di quel prodotto mi fornirà il valore di $ m $ per cui è massia l'area.

Purtroppo però l'espressione di cui devo trovare il massimo è la seguente:

$ m(\frac {m^2 + \sqrt{3m^2 + 4}}{2 (m^2 + 1)} - \frac {1}{2})^2 $

Per la cronaca è $ 1,57 $ circa mi pare, l'esatta forma contiene un paio di radici tra cui una radice di 33 molto simpatica =)

per precisione sarebbe:
$ m = \sqrt { \frac {1}{6} (9 + \sqrt {33})} $.

se qualcuno sa un modo per calcolare questo risultato da quella espressione me lo dica.