BMO 2002
Moderatore: tutor
Partiamo dal vertice C.
<BR>^ACD=alfa , ^BCD=beta.
<BR>CEDF sarà evidentemente ciclico, in particolare
<BR>CE*FD + ED * FC = CD * EF
<BR>esprimendo tutto in funzione di CD e le funzioni trigonometriche
<BR>di alfa e beta si arriva alla formula
<BR>EF = CD sen ^ACB
<BR>Ma CD= 2 S(ABC)/AB
<BR>E il problema si riduce algebricamente al teorema del seno.
<BR>
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<BR>^ACD=alfa , ^BCD=beta.
<BR>CEDF sarà evidentemente ciclico, in particolare
<BR>CE*FD + ED * FC = CD * EF
<BR>esprimendo tutto in funzione di CD e le funzioni trigonometriche
<BR>di alfa e beta si arriva alla formula
<BR>EF = CD sen ^ACB
<BR>Ma CD= 2 S(ABC)/AB
<BR>E il problema si riduce algebricamente al teorema del seno.
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Carina, la dimostrazione. Ora ecco un altro problema:
<BR>
<BR>Suppose that B_1,..., B_n are N spheres of unit radius arranged in space so that each sphere tpuches exactly two others externally. Let P be a point outside all these spheres, and let the N points of contact be C_1,...,_N. The lenght of the tnagent from P to the sphere B_i (1<=i<=N) is denoted by t_i. Prove that the product of the quantities t_i is not more than the product of the distances PC_i.
<BR>
<BR>Suppose that B_1,..., B_n are N spheres of unit radius arranged in space so that each sphere tpuches exactly two others externally. Let P be a point outside all these spheres, and let the N points of contact be C_1,...,_N. The lenght of the tnagent from P to the sphere B_i (1<=i<=N) is denoted by t_i. Prove that the product of the quantities t_i is not more than the product of the distances PC_i.
adesso posto la dimostrazione completa, e di seguito quella del lemma (che poi è la conclusione algebrica della dimostrazione)...
<BR>siano O_i == (x_i,y_i,z_i) i centri delle sfere immerse in uno spazio cartesiano, e sia P==O==(0,0,0).
<BR>denominiamo con (c_i)² la quantità (x_i)²+(y_i)²+(z_i)², con (d_i)² la quantità {[x_i-x_(i+1)]²+[y_i-y_(i+1)]²+[z_i-z_(i+1)]²}/4, e con (s_i) la quantità {[x_i+x_(i+1)]²+[y_i+y_(i+1)]²+[z_i+z_(i+1)]²}/4.
<BR>poichè ciascuna circonferenza B_i è tangente alle due circonferenze B_(i-1) e B_(i+1), abbiamo 2d_i=2 => d_i=1.
<BR>abbiamo inoltre che (s_i)² = {(c_i)²+[c_(i+1)]²}/4+{(c_i)²+[c_(i+1)]²}/4-(d_i)² = {(c_i)²+[c_(i+1)]²}/2-1.
<BR>i punti di contatto C_i, essendo punti medi dei segmenti O_iO_(i+1), avranno coordinate ([x_i+x_(i+1)]/2,[y_i+y_(i+1)]/2,[z_i+z_(i+1)]/2), e la distanza PC_i sarà pari a s_i.
<BR>ora, la lunghezza della tangente condotta da P a B_i sarà chiaramente pari a sqrt[(c_i)²-1].
<BR>possiamo quindi riformulare la disuguaglianza prod[t_i]<=prod[PC_i] in modo puramente albebrico come (ometto l\'intervallo dell\'indice muto, perdonatemi)
<BR>prod[sqrt[(c_i)²-1]]<=prod[s_i]=prod[sqrt[(s_i)²]]=prod[sqrt{{(c_i)²+[c_(i+1)]²}/2-1}], elevando ambo i membri al quadrato, e sostituendo a (c_i)²-i la quantità a_i, otteniamo prod[a_i]<=prod[[a_i+a_(i+1)]/2], che qui dimostro.
<BR>non sono esattamente certo che questa dimostrazione quadri, anche se mi convince di più della dimostrazione che ha dato gobbino della disuguaglianza GM<AM...
<BR>dunque, l\'asserto da dimostrare è quello di cui sopra (quanto mi diverto a far rincoglionire la gente per capire quello che dico!)..
<BR>banalmente è vero per n=1.
<BR>altrettanto banalmente lo è per n=2.
<BR>ora supponiamo che lo sia per un certo m, quindi che sia vero per tutte le m-uple di reali non negativi (avevo scordato l\'insieme di definizione, pardon).
<BR>dunque avremo che prod<=prod{i=1,..m, [a_i+a_(i+1)]/2}. ora prendiamo un a_(m+1) che sia minore o uguale a tutti gli altri a_i (per 0<i<m+1), dovremo dimostrare che si ha prod<=prod{i=1,..m+1, [a_i+a_(i+1)]/2}, ma evidentemente il prod=a_(m+1)*prod, e
<BR>prod{i=1,..m+1, [a_i+a_(i+1)]/2}=prod{i=1,..m, [a_i+a_(i+1)]/2}*[c_m+c_(m+1)][c_(m+1)+c_1]/2[c_m+c_1], ma è semplice verificare la disuguaglianza c_(m+1)<=[c_m+c_(m+1)][c_(m+1)+c_1]/2[c_m+c_1], per cui il gioco è fatto.
<BR>
<BR>mi sorgono però dubbi sul passaggio \"ora prendiamo un a_(m+1) che sia minore o uguale a tutti gli altri a_i (per 0<i<m+1)\", che mi sembra corretto perché l\'ipotesi induttiva dice che deve essere vera per m, quindi per <i>tutte</i> le m-uple di reali non negativi, per cui al limite si permutano gli m+1 elementi di modo che a_(m+1) soddsfi la disuguaglianza a_(m+1)<=a_i (0<i<m+1)..
<BR>sollevatemi dai miei dubbi please!
<BR>grazie anticipate a chi risponderà (se scommetto su qualche nome vinco anche qualcosa? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> )
<BR>
<BR>ps. scusate la notazione pesantuccia...
<BR>pps. che fatica! a scriverla!
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 25-04-2003 20:37 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 25-04-2003 20:42 ]
<BR>siano O_i == (x_i,y_i,z_i) i centri delle sfere immerse in uno spazio cartesiano, e sia P==O==(0,0,0).
<BR>denominiamo con (c_i)² la quantità (x_i)²+(y_i)²+(z_i)², con (d_i)² la quantità {[x_i-x_(i+1)]²+[y_i-y_(i+1)]²+[z_i-z_(i+1)]²}/4, e con (s_i) la quantità {[x_i+x_(i+1)]²+[y_i+y_(i+1)]²+[z_i+z_(i+1)]²}/4.
<BR>poichè ciascuna circonferenza B_i è tangente alle due circonferenze B_(i-1) e B_(i+1), abbiamo 2d_i=2 => d_i=1.
<BR>abbiamo inoltre che (s_i)² = {(c_i)²+[c_(i+1)]²}/4+{(c_i)²+[c_(i+1)]²}/4-(d_i)² = {(c_i)²+[c_(i+1)]²}/2-1.
<BR>i punti di contatto C_i, essendo punti medi dei segmenti O_iO_(i+1), avranno coordinate ([x_i+x_(i+1)]/2,[y_i+y_(i+1)]/2,[z_i+z_(i+1)]/2), e la distanza PC_i sarà pari a s_i.
<BR>ora, la lunghezza della tangente condotta da P a B_i sarà chiaramente pari a sqrt[(c_i)²-1].
<BR>possiamo quindi riformulare la disuguaglianza prod[t_i]<=prod[PC_i] in modo puramente albebrico come (ometto l\'intervallo dell\'indice muto, perdonatemi)
<BR>prod[sqrt[(c_i)²-1]]<=prod[s_i]=prod[sqrt[(s_i)²]]=prod[sqrt{{(c_i)²+[c_(i+1)]²}/2-1}], elevando ambo i membri al quadrato, e sostituendo a (c_i)²-i la quantità a_i, otteniamo prod[a_i]<=prod[[a_i+a_(i+1)]/2], che qui dimostro.
<BR>non sono esattamente certo che questa dimostrazione quadri, anche se mi convince di più della dimostrazione che ha dato gobbino della disuguaglianza GM<AM...
<BR>dunque, l\'asserto da dimostrare è quello di cui sopra (quanto mi diverto a far rincoglionire la gente per capire quello che dico!)..
<BR>banalmente è vero per n=1.
<BR>altrettanto banalmente lo è per n=2.
<BR>ora supponiamo che lo sia per un certo m, quindi che sia vero per tutte le m-uple di reali non negativi (avevo scordato l\'insieme di definizione, pardon).
<BR>dunque avremo che prod<=prod{i=1,..m, [a_i+a_(i+1)]/2}. ora prendiamo un a_(m+1) che sia minore o uguale a tutti gli altri a_i (per 0<i<m+1), dovremo dimostrare che si ha prod<=prod{i=1,..m+1, [a_i+a_(i+1)]/2}, ma evidentemente il prod=a_(m+1)*prod, e
<BR>prod{i=1,..m+1, [a_i+a_(i+1)]/2}=prod{i=1,..m, [a_i+a_(i+1)]/2}*[c_m+c_(m+1)][c_(m+1)+c_1]/2[c_m+c_1], ma è semplice verificare la disuguaglianza c_(m+1)<=[c_m+c_(m+1)][c_(m+1)+c_1]/2[c_m+c_1], per cui il gioco è fatto.
<BR>
<BR>mi sorgono però dubbi sul passaggio \"ora prendiamo un a_(m+1) che sia minore o uguale a tutti gli altri a_i (per 0<i<m+1)\", che mi sembra corretto perché l\'ipotesi induttiva dice che deve essere vera per m, quindi per <i>tutte</i> le m-uple di reali non negativi, per cui al limite si permutano gli m+1 elementi di modo che a_(m+1) soddsfi la disuguaglianza a_(m+1)<=a_i (0<i<m+1)..
<BR>sollevatemi dai miei dubbi please!
<BR>grazie anticipate a chi risponderà (se scommetto su qualche nome vinco anche qualcosa? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> )
<BR>
<BR>ps. scusate la notazione pesantuccia...
<BR>pps. che fatica! a scriverla!
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<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 25-04-2003 20:37 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 25-04-2003 20:42 ]
Non ho letto la dimostrazione di ma_go e posto la mia (visto che ho sgobbato per trovarla), quindi potrebbero tranquillamente essere uguali, in questo caso, perdonatemi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> .
<BR>
<BR>Se chiamiamo t i segmenti di tangenza alla sfera di centro O e chiamiamo m[k] le lunghezze dei segmenti condotte da P ai vari punti di tangenza, dobbiamo dimostrare che vale PROD t <= PROD m[k].
<BR>Procediamo con l\'esprimere i vari m ed i vari t in funzione delle distanze PO.
<BR>Si avrà evidentemente che t^2=PO^2-1.
<BR>i vari segmenti m[k] sono le mediane dei triangoli O[h]PO[j] dove h e j sono gli indici delle due sfere tangenti.
<BR>
<BR>Il teorema della mediana ci viene in aiuto, visto che si ha \"Il doppio del quadrato della mediana è uguale alla somma dei quadrati dei lati che la contengono meno la metà del quadrato del terzo lato\". Questo nel nostro caso si può riscrivere come 2m[k]^2=PO[j]^2+PO[h]^2-1.
<BR>
<BR>Ad ogni m[k] noi possiamo ora associare il prodotto t[h]t[j]=T[k] così, al prodotto PROD m[k] si associerà PROD T[k]. Per la proprietà che ogni sfera è tangente esattamente ad altre due si ricava che PROD T[k] = (PROD t)^2.
<BR>
<BR>Se riusciamo a dimostrare che T[k]<=m[k]^2 abbiamo finito (infatti per ottenere la tesi basta mltiplicare assieme tutte queste disuguaglianze).
<BR>Sostituendo si ottiene 4(PO[h]^2-1)(PO[j]^2-1)<=(PO[j]^2+PO[h]^2-1)^2.
<BR>Poniamo ora x=PO[h]^2-1 e y=PO[j]^2-1, si ottiene 4xy<=(x+y+1)^2, che diventa (x-y+1)^2+4y>=0. Visto inoltre che y>0 (P si trova infatti fuori da ogni sfera) il nostro asserto iniziale è dimostrato.
<BR>
<BR>
<BR>Ciaoooooooo
<BR>
<BR>~p3~<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: pennywis3 il 26-04-2003 10:27 ]
<BR>
<BR>Se chiamiamo t i segmenti di tangenza alla sfera di centro O e chiamiamo m[k] le lunghezze dei segmenti condotte da P ai vari punti di tangenza, dobbiamo dimostrare che vale PROD t <= PROD m[k].
<BR>Procediamo con l\'esprimere i vari m ed i vari t in funzione delle distanze PO.
<BR>Si avrà evidentemente che t^2=PO^2-1.
<BR>i vari segmenti m[k] sono le mediane dei triangoli O[h]PO[j] dove h e j sono gli indici delle due sfere tangenti.
<BR>
<BR>Il teorema della mediana ci viene in aiuto, visto che si ha \"Il doppio del quadrato della mediana è uguale alla somma dei quadrati dei lati che la contengono meno la metà del quadrato del terzo lato\". Questo nel nostro caso si può riscrivere come 2m[k]^2=PO[j]^2+PO[h]^2-1.
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<BR>Ad ogni m[k] noi possiamo ora associare il prodotto t[h]t[j]=T[k] così, al prodotto PROD m[k] si associerà PROD T[k]. Per la proprietà che ogni sfera è tangente esattamente ad altre due si ricava che PROD T[k] = (PROD t)^2.
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<BR>Se riusciamo a dimostrare che T[k]<=m[k]^2 abbiamo finito (infatti per ottenere la tesi basta mltiplicare assieme tutte queste disuguaglianze).
<BR>Sostituendo si ottiene 4(PO[h]^2-1)(PO[j]^2-1)<=(PO[j]^2+PO[h]^2-1)^2.
<BR>Poniamo ora x=PO[h]^2-1 e y=PO[j]^2-1, si ottiene 4xy<=(x+y+1)^2, che diventa (x-y+1)^2+4y>=0. Visto inoltre che y>0 (P si trova infatti fuori da ogni sfera) il nostro asserto iniziale è dimostrato.
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<BR>Ciaoooooooo
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<BR>~p3~<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: pennywis3 il 26-04-2003 10:27 ]
ok, è vero, mangio i bambini, ma d\'altronde sono più teneri.... e poi voi per pasqua non mangiate tutti quei poveri agnellini?
Sìsì, Evariste ha ragione, il problema è legato strettamente alla soluzione di 3^a-2^b=1 e 2^a-3^b=1. La soluzione ce l\'ho, è facile, ma ci sono troppi sottocasi per avere il coraggio di scriverla <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
ok, è vero, mangio i bambini, ma d\'altronde sono più teneri.... e poi voi per pasqua non mangiate tutti quei poveri agnellini?
Se è così poco banale ho saltato qualcosa...
<BR>Questo è quanto ho pensato:
<BR>
<BR>Se P(xyz)<=3 allora xyz=2^a*3^b; dunque x deve essere della stessa forma, diciamo x=2^c*2^d. Se y e z sono con x in prog. arit. allora y=x+k e z=x+2k. Anche y e z dovranno essere della suddetta forma, perciò:
<BR>
<BR>x+k=2^c*3^d+k=2^(c+h)*3^(d+g)=y => k=2^c*3^d * (2^h*3^g - 1)
<BR>
<BR>e
<BR>
<BR>x+2k=2^c*3^d + 2k=2^(c+j)*3^(d+l) =z => k=2^(c-1)*3^d*(2^j*3^l -1)
<BR>
<BR>da cui, poichè k=k
<BR>
<BR>2^c*3^d * (2^h*3^g - 1)=2^(c-1)*3^d*(2^j*3^l -1)
<BR>
<BR>ovvero 2^(h+1)*3^g-2=2^j*3^l-1 ovvero 2^(h+1)*3^g-1=2^j*3^l
<BR>
<BR>Consideriamo che i due membri hanno diversa parità, dei due prodotti di esponenziali uno dovrà essere esclusivamente potenza di tre. Inoltre poichè due multipli di 3 non si trovano a distanza di unità, l\'altro dei due prodotti dovrà essere potenza del solo 2.
<BR>Il che ci riporta all\'equazione su cui ho sollevato i miei dubbi (più che altro perchè avevo letto non so su quale libro che un simile problema rimaneva irrisolto...forse il problema era un po\' diverso e riguardava quadrati e cubi a distanza di unità, non ricordo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> )
<BR>
<BR>Da ciò, dando per buone le soluzioni banali:
<BR>
<BR>2^0*3^0=2^1*3^0-1 da cui h=0;g=0;j=0;l=0 e quindi k=0 (non acc.)
<BR>
<BR>2^1*3^0=2^0*3^1 -1 da cui j=1;l=0;h=-1;g=1 e quindi k=x/2
<BR>
<BR>2^3*3^0=2^0*3^2-1 da cui j=3;l=0;h=-1;g=2 e quindi k=7x/2
<BR>
<BR>E quindi, dato ad x un qualunque valore della forma 2^c*3^d dove c e d siano naturali, zero incluso, e costruendo una delle due progressioni con k=x/2 o k=7x/2, il prodotto dei primi 3 termini sarà della forma 2^a*3^b.
<BR>E qui chiudo...
<BR>ma-go, la tua equazione non la vedo proprio...dove ho toppato?
<BR>Questo è quanto ho pensato:
<BR>
<BR>Se P(xyz)<=3 allora xyz=2^a*3^b; dunque x deve essere della stessa forma, diciamo x=2^c*2^d. Se y e z sono con x in prog. arit. allora y=x+k e z=x+2k. Anche y e z dovranno essere della suddetta forma, perciò:
<BR>
<BR>x+k=2^c*3^d+k=2^(c+h)*3^(d+g)=y => k=2^c*3^d * (2^h*3^g - 1)
<BR>
<BR>e
<BR>
<BR>x+2k=2^c*3^d + 2k=2^(c+j)*3^(d+l) =z => k=2^(c-1)*3^d*(2^j*3^l -1)
<BR>
<BR>da cui, poichè k=k
<BR>
<BR>2^c*3^d * (2^h*3^g - 1)=2^(c-1)*3^d*(2^j*3^l -1)
<BR>
<BR>ovvero 2^(h+1)*3^g-2=2^j*3^l-1 ovvero 2^(h+1)*3^g-1=2^j*3^l
<BR>
<BR>Consideriamo che i due membri hanno diversa parità, dei due prodotti di esponenziali uno dovrà essere esclusivamente potenza di tre. Inoltre poichè due multipli di 3 non si trovano a distanza di unità, l\'altro dei due prodotti dovrà essere potenza del solo 2.
<BR>Il che ci riporta all\'equazione su cui ho sollevato i miei dubbi (più che altro perchè avevo letto non so su quale libro che un simile problema rimaneva irrisolto...forse il problema era un po\' diverso e riguardava quadrati e cubi a distanza di unità, non ricordo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> )
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<BR>Da ciò, dando per buone le soluzioni banali:
<BR>
<BR>2^0*3^0=2^1*3^0-1 da cui h=0;g=0;j=0;l=0 e quindi k=0 (non acc.)
<BR>
<BR>2^1*3^0=2^0*3^1 -1 da cui j=1;l=0;h=-1;g=1 e quindi k=x/2
<BR>
<BR>2^3*3^0=2^0*3^2-1 da cui j=3;l=0;h=-1;g=2 e quindi k=7x/2
<BR>
<BR>E quindi, dato ad x un qualunque valore della forma 2^c*3^d dove c e d siano naturali, zero incluso, e costruendo una delle due progressioni con k=x/2 o k=7x/2, il prodotto dei primi 3 termini sarà della forma 2^a*3^b.
<BR>E qui chiudo...
<BR>ma-go, la tua equazione non la vedo proprio...dove ho toppato?