Da una gara a squadre

[minima.distanza]

trovare tutte le soluzioni intere positive a $ 4x+12y+3z^2=2006 $

è per i neofiti, si pregano gli esperti di non bruciarlo XD io l'ho trovato carino...

[LukasEta]

Rispondo perché mi considero un assoluto neofita Comuque metto in testo nascosto:

Testo nascosto:

Siccome $ 4x+12y+3z^2=2006=2*17*59 $ , allora $ 4x+12y+3z^2 $ dev'essere divisibile per 2 , e $ 2^1 $ è quindi la massima potenza per cui può essere diviso.
Affinchè sia pari, devo però porre $ z=2k $(con $ k $ intero)

L'equazione diventa della forma $ 4x+12y+3*4k^2=2006 $. Se divido tutto per 4, ottengo $ x+3y+3k^2=\frac{2006}{4} $ , che non ha soluzioni intere dal momento che $ \frac{2006}{4} $ non è intero.

Right??

[ndp15]

Detta in maniera più concisa:

Testo nascosto:

Analizzo tutto mod 4: $ 3z^2\equiv2 \Rightarrow z^2\equiv2 $ impossibile perchè 2 non è residuo quadratico

[minima.distanza]

Bene !

Peccato che mi accorga solo ora di aver sbagliato a copiare il testo dalla gara...

Dai, questo è un attimino più difficile ma è carino uguale:

Quante sono le soluzioni intere positive di $ 4x+12y+3z^2 = 2008 $ ?

[LukasEta]

Ah ecco mi sembrava strano!

Dunque, provo a risolvere quello nuovo:

Testo nascosto:

Riscrivo nella forma $ x+3y+3k^2=502 $ (ho diviso per 4 come prima) e noto che $ 502-x\equiv0 \mod 3 $, per cui $ x\equiv -1 \mod 3 $.
Chiamo quindi $ x=3t+1 $: l'equazione diventa $ 3y+3k^2=501-t $ con $ t\equiv 0 \mod 3 $. Chiamo $ \frac{t}{3}=w $, divido tutto per 3 e riscrivo:
$ k^2=167-(w+y) $.
La quantità $ 167-(w+y) $ dovrà quindi essere un quadrato perfetto.

I quadrati perfetti tra 1 e 167 sono : 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144
Assegnando a $ k^2 $ ognuno di questi valori, e calcolando le combinazioni di $ (w+y) $ corrispondenti si ha che che le terne sono 165+162+157+150+141+130+117+102+85+66+45+22 = 1342

Spero vada bene

[minima.distanza]

Molto bene, tutto giusto

[Claudio.]

Era più carino il primo la conclusione con tentativi è terribile .

[matty96]

la conclusione con tentativi è terribile .

Si,però mi piace il modo con cui Lukaseta risolve i problemi,perchè non segue ragionamenti in cui si deve conoscere un particolare argomento,ma li fa in modo molto intuitivo.

[LukasEta]

la conclusione con tentativi è terribile .

Si,però mi piace il modo con cui Lukaseta risolve i problemi,perchè non segue ragionamenti in cui si deve conoscere un particolare argomento,ma li fa in modo molto intuitivo.

E' vero , li faccio utilizzando sempre "proprietà di base" o magari anche fatti ovvi che si potrebbero dare per scontati, dal momento che purtroppo non ho una grande esperienza e/o conoscenze di matematica olimpica. Faccio quel che posso

Era più carino il primo la conclusione con tentativi è terribile .

Sì, effettivamente era un po' troppo calcolosa Hai un modo per evitare tutto quel marasma finale?

[minima.distanza]

Io ho usato la formula per calcolare $ \sum_{n=1}^{12}n^2 $ mi sembra di ricordare ( ho la memoria di un pesce rosso, perdonatemi..)