(Own) Probabilità di beccare una boa

[dario2994]

? che stai dicendo?

perchè il risultato 56% dovrebbe essere sbagliato? mi sembra una probabilità giustissima.

Peccato che non lo sia...

[staffo]

e quale sarebbe la percentuale giusta scusa? non capisco come possa non esserlo quella quella giusta, non capisco dove sbaglio il ragionamento (sembrerebbe filare tutto, perchè?)

[dario2994]

e quale sarebbe la percentuale giusta scusa? non capisco come possa non esserlo quella quella giusta, non capisco dove sbaglio il ragionamento (sembrerebbe filare tutto, perchè?)

Non vedo cosa potrebbe non filare... (...e radio tirana trasmette musiche balcaniche...) non hai scritto nulla.
Se vuoi che io provi a trovare un errore nella tua soluzione (mi stai facendo venire sempre più dubbi sulla mia soluzione ) scrivila... non sono Dio (stupore e meraviglia ) non capisco il tuo ragionamento solo dalla soluzione...

[staffo]

allora, l'area sottesa dalle due funzioni definisce in ogni punto di x una probabilià, e l'area comprende tutte le probabilità messe assieme. nel punto $ x_0 $ avrò una probabilità, nel punto $ x_1 $ ne avrò un'altra, e così per entrambe le funzioni.

l'integrale me le prende tutte assieme e le rapporta una per una a quelle dell'altro integrale. ovvimente ho fatto il rapporto dei casi utili (quelli in cui vince "io") e i casi possibili sommando i due integrali.

magari sbaglio io, però questa secondo me era la soluzione giusta

[dario2994]

allora, l'area sottesa dalle due funzioni definisce in ogni punto di x una probabilià, e l'area comprende tutte le probabilità messe assieme. nel punto $ x_0 $ avrò una probabilità, nel punto $ x_1 $ ne avrò un'altra, e così per entrambe le funzioni.

l'integrale me le prende tutte assieme e le rapporta una per una a quelle dell'altro integrale. ovvimente ho fatto il rapporto dei casi utili (quelli in cui vince "io") e i casi possibili sommando i due integrali.

magari sbaglio io, però questa secondo me era la soluzione giusta

Non so se è quella giusta, ma di sicuro non è una soluzione, è un delirio... e anche stavolta buonanotte.

[staffo]

allora, è un delirio perchè sia io non mi so spiegare, sia tu non capisci, comunque attendo la soluzione di un altro per vedere se effettivamente è come dici tu un "delirio"

[EvaristeG]

Lo ammetto, darionumero_a_caso, il risultato è quasi carino...

Ora, suppongo che "Io" non sia il pronome, ma un omaggio agli dei del Mondo Disco di Pratchet... detto ciò, facciamo ordine.

Prima cosa importante: La probabilità che il lancio faccia "esattamente" t metri dalla boa è 0. Nel problema, come nella realtà. Il nostro dato è questo: l'evento "Io tira e il suo sasso cade a meno di $t$ metri dalla boa" accade con probabilità $F(t)$; l'altro evento (indipendente dal primo) "Johnny tira e il sasso cade a meno di $t$ metri dalla boa" accade con probabilità $G(t)$.

Seconda cosa importante: Consideriamo un evento del tipo "Io tira e il sasso cade tra $a$ metri e $b$ metri dalla boa", con $a<b$. Che probabilità ha? beh, gli eventi "Io fa meno di $a$", "Io fa tra $a$ e $b$" e "Io fa più di $b$" sono disgiunti e la loro unione è un evento certo, quindi si deve avere (basta fare il conto) che l'evento considerato all'inizio del paragrafo ha probabilità $F(b)-F(a)$.

Terza cosa importante: L'evento "Io tira e fa tra $a$ e $b$, mentre Johnny fa tra $c$ e $d$" ha probabilità $(F(b)-F(a))(G(b)-G(a))$, per l'osservazione precedente e per il fatto che i due tiri sono indipendenti tra loro.

Ora, tutto il problema sta nel fatto che l'evento "Io fa più di Johnny" non è della forma appena descritta...come fare? Beh, una soluzione è ingegnarsi come meglio si può; ad esempio, intanto supponiamo di far variare $t$ tra $0$ e $1$ (e non fino a $20$) e notiamo che gli eventi del tipo "Io lancia a meno di $x$ e Johnny a più di $x$" sono sottoeventi di quello che interessa a noi; sappiamo bene che essi hanno probabilità $F(x)(1-G(x))$. Con un po' di fantasia, possiamo accorgerci che gli eventi
"Io tira tra $(2k+1)/2^n$ e $(2k+2)/2^n$, mentre Johnny tira tra $2k/2^n$ e $(2k+1)/2^n$" al variare di $n$ e per $0\leq k\leq 2^{n-1}$ partizionano l'evento che ci interessa (dimostrazione affidata al lettore).
Dunque il nostro evento ha probabilità
$$\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^{2^{n-1}-1}(F((2k+2)/2^{n})-F((2k+1)/2^n))(G((2k+1)/2^n)-G(2k/2^n))$$
Ricordiamo che $F(t)=\sin(x\pi/2)$ e $G(t)=t$ e dunque $G((2k+1)/2^n)-G(2k/2^n)=2^{-n}$, da cui la probabilità che vogliamo diventa
$$\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^{2^{n-1}-1}(F((2k+2)/2^{n})-F((2k+1)/2^n))2^{-n}$$
Supponiamo di calcolare la somma solo fino a $N$, allora, preso un numero della forma $m/2^N$, possiamo vedere che, se $m=2^Md$, allora $F(m/2^N)$ compare la prima volta nella somma al passo $n=N-M$ con segno positivo e coefficiente $2^{N-M}$ e poi compare nei seguenti con segno negativo, dunque alla fine compare come
$F(m/2^N)(2^{N-M}-2^{N-M+1}-\ldots-2^N)=F(m/2^N)2^{-N}$
Quindi la somma fino a $N$ è
$$\frac{1}{2^N}\sum_{k=0}^{2^N}F(k/2^N)=\frac{1}{2^N}\sum_{k=0}^{2^N}\sin(k\pi/2^{N+1})=\frac{\sin(\pi(2^N+1)/2^{N+2})\sin(\pi/4))}{2^N\sin(\pi/2^{N+2})}$$
e facendo il limite per $N\to\infty$, si ha che $(2^N+1)/2^{N+2}$ tende a $1/4$, mentre $2^N\sin(\pi/2^{N+2})$ tende a $\pi/4$, dunque tutto quanto fa $2/\pi$.


Ovviamente, se uno sa un po' di probabilità, riconoscerà in $F$ e $G$ le funzioni caratteristiche delle variabili aleatorie che danno i risultati dei lanci e dunque saprà che le loro distribuzioni sono $F'$ e $G'$. Da ciò, la variabile prodotto avrà distribuzione $F'(t)G'(u)$ che, integrata su $u<t$, darà la probabilità cercata:
$$\int_{0}^1\int_{0}^t\frac{\pi}{2}\sin(t\pi/2)dudt=\int_{0}^1\frac{t\pi}{2}\sin(t\pi/2)dt=\frac{2}{\pi}(\sin(x\pi/2)-x\pi\cos(x\pi/2)/2)\vert_{0}^1=\frac{2}{\pi}$$

[dario2994]

Ora, suppongo che "Io" non sia il pronome, ma un omaggio agli dei del Mondo Disco di Pratchet... detto ciò, facciamo ordine.

Ovviamente
Ma tu non dovevi postare (anche se hai la scusante che hai piazzato ben 2 soluzioni, di cui una quasi elementare )

[EvaristeG]

non dovevo postare? beh, diventa admin e bannami!
cmq, ho postato solo per fare un po' di chiarezza e perché i toni si stavano inacidendo e le posizioni sclerotizzando.
ritorno nella cripta.