88. polinomi in due variabili

[Anér]

Problema 88
Si hanno due polinomi $ p,q\in\mathbb{Z}[x,y] $, e si sa che comunque si scelgano due interi $ a,b $ si ha che $ p(a,b)|q(a,b) $. Dimostrare che allora esiste un polinomio $ r\in\mathbb{Q}[x,y] $ tale che $ p\cdot r=q $.

[Nabir Albar]

Considero $ p(x,y) $ e $ q(x,y) $ come polinomi in x (cioè nella forma $ p(x,y)=\sum_{i=0}^d p_i(y)x^i $ e $ q(x,y)=\sum_{i=0}^{D} q_i(y) x^i $).
Suppongo d'ora in poi che $ p(x,y) $ non sia il polinomio nullo.
Faccio la divisione seguendo l'algoritmo e ottengo
$ \frac{q(x,y)}{p(x,y)}=\sum_{i=0}^{D-d} r_i(y)x^i + \frac{\sum_{i=0}^{d-1} r'_i(y)x^i}{p(x,y)}~(*) $, con $ r_i(y) $ e $ r'_i(y) $ funzioni razionali (e a coeff. razionali) in y. Questa equazione ovviamente vale per tutte le coppie $ (x,y) $ che non annullano $ p(x,y) $ o i denominatori delle funzioni razionali. Sicuramente ci sono infiniti $ y $ per cui $ p(x,y)\neq0 $ per infiniti $ x $ (per esempio gli $ y $ che non sono radici di $ p_d(\cdot) $) e per cui sono definite le funzioni razionali. Inoltre per questi $ y $ al più $ d $ valori di $ x $ annullano $ p(x,y) $ $ (**) $ (principio di identità dei polinomi).
Fissando un $ y\in\mathbb{Z} $ a caso tra quelli buoni, $ \sum_{i=0}^{D-d} r_i(y)x^i $ diventa un polinomio a coeff. razionali. Prendo le frazioni ai minimi termini di questi coeff. e chiamo $ m $ il loro minimo comune multiplo. Per $ x\to\infty $, $ \frac{\sum_{i=0}^{d-1} r'_i(y)x^i}{p(x,y)}\to0 $, quindi se gli $ r'_i(y) $ non sono tutti nulli fissato $ x\in\mathbb{N} $ sufficientemente grande avrò $ 0<\left|\frac{\sum_{i=0}^{d-1} r'_i(y)x^i}{p(x,y)}\right|<\frac{1}{m} $.
Ma nella $ (*) $ il primo membro è intero per ipotesi e $ \sum_{i=0}^{D-d} r_i(y)x^i=\frac{k}{m} $ per qualche $ k\in\mathbb{Z} $, assurdo! Quindi $ r'_i(y)=0 $ per ogni $ i $. Visto che posso ripetere lo stesso ragionamento per infiniti $ y $, ottengo che tutti gli $ r'_i(y) $ sono nulli come (funzioni razionali).
Ok, mi sono ridotto a $ \frac{q(x,y)}{p(x,y)}=\sum_{i=0}^{D-d} r_i(y)x^i $. Per ogni $ i $ scrivo $ r_i(y)=s_i(y)+\frac{t_i(y)}{u_i(y)} $, essendo $ t_i(y) $ un polinomio nullo o di grado minore rispetto a $ u_i(y) $.
Suppongo per assurdo che non tutti i polinomi $ t_i(y) $ siano nulli. Chiamo $ M $ il m.c.m. dei denominatori delle frazioni dei coeff. di tutti gli $ s_i(y) $. Seguendo la stessa idea di prima, deve valere $ \sum_{i=0}^{D-d} \frac{t_i(y)}{u_i(y)}\cdot x^i=\frac{k}{M} $ per qualche $ k\in\mathbb{Z} $.
Ma $ \forall i\ \lim_{y\to\infty}\frac{t_i(y)}{u_i(y)}=0 $, quindi per infiniti $ y $ abbiamo $ \left|\frac{t_i(y)}{u_i(y)}\right|<\frac{1}{m(D+1)^i(D-d+1)} $ per ogni $ i $. Preso uno di questi $ y $, ci sono almeno $ D-d+1 $ valori di $ x $ in $ \{1,2,\ldots,D+1\} $ tali che vale la $ (*) $, per il fatto $ (**) $. Dunque per questi valori di $ x $ otteniamo che $ \left|\sum_{i=0}^{D-d} \frac{t_i(y)}{u_i(y)}\cdot x^i\right|\le\sum_{i=0}^{D-d}\left|\frac{t_i(y)}{u_i(y)}\right|\cdot x^i<\sum_{i=0}^{D-d}\frac{x^i}{m(D+1)^i(D-d+1)}\le\sum_{i=0}^{D-d}\frac{1}{m(D-d+1)}=\frac{1}{m} $, ergo per quanto detto prima $ \sum_{i=0}^{D-d} \frac{t_i(y)}{u_i(y)}\cdot x^i=0 $.
Siccome questo polinomio in $ x $ si annulla per $ D-d+1 $ valori di $ x $, $ \frac{t_i(y)}{u_i(y)}=0 $ per ogni $ i $. Ripetendo il ragionamento per tanti $ yy $ a suon di principio di identità dei polinomi posso finalmente dire che $ t_i(y)=0 $ (come polinomi).
Rimane $ \frac{q(x,y)}{p(x,y)}=\sum_{i=0}^{D-d} s_i(y)x^i $, da cui $ q(x,y)-p(x,y)\sum_{i=0}^{D-d} s_i(y)x^i=0 $ per troppi valori di $ x $ e $ y $ (dovrebbe essere facile capire il perché, cmq se volete lo chiarisco).

[Anér]

Va bene, proponi il prossimo da un'altra parte e aggiungi un collegamento qui sotto.

[Nabir Albar]

Problema 89