1) $ x^2+y^2=2005^{2004} $
2) $ x^2+y^2=2004^{2005} $
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1) $ x^2+y^2=5^{2004}*401^{2004}=5^2(5^{2002}*401^{2004}) $
Chiamo $ k=5^{2002}*401^{2004} $
Posso scrivere:
$ 3^2k+4^2k=5^2k $ rifacendomi alla terna pitagorica fondamentale..
Sostituendo, ottengo che $ x^2=3^2*5^{2002}*401^{2004} $ e $ y^2=4^2*5^{2002}*401^{2004} $ (o l'opposto), da cui $ x=\pm 3*5^{1001}*401^{1002} $ e $ y=\pm 4*5^{1001}*401^{1002} $ (o l'opposto)
Le coppie di soluzioni $ (x,y) $ sono : $ (\pm 3*5^{1001}*401^{1002},\pm 4*5^{1001}*401^{1002}) $ $ (\pm 4*5^{1001}*401^{1002},\pm 3*5^{1001}*401^{1002}) $
E' sufficiente che dica che mi rifaccio alla terna pitagorica per affermare che sono le uniche soluzioni?
2) $ x^2+y^2=2004^{2005} $
$ x^2+y^2=3^{2005}*4^{2005}*167^{2005} $
Allora $ x^2+y^2\equiv 0 \mod 3 $. L'unica combinazione possibile è che $ x\equiv y\equiv 0 \mod 3 $. Ma allora $ x^2+y^2\equiv 0 \mod 9 $. Posso dividere tutti i termini dell'equazione per 9, chiamando $ x_1^2,y_1^2 $ rispettivamente $ x^2/9 $ e $ y^2/9 $. Ottengo:
$ x_1^2+y_1^2=3^{2003}*4^{2005}*167^{2005} $.
Ripetendo il procedimento per altre 1002 volte, ottengo :
$ x_{1002}^2y_{1002}^2= \frac {4^{2005}*167^{2005}}{3} $, per cui l'equazione non ha soluzioni intere in $ x,y $
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Scusate il disordine...siccome non riesco a trovare questo Cesenatico, non so se le mie soluzioni vanno bene....se potete dargli un'occhiata ne sarei molto contento
Grazie in anticipo!Luca
) potresti usare un cannoncino che fa assai comodo, almeno per intuire la risposta visto che è difficile usarlo in una soluzione (banalizza il secondo punto):
