Disuguaglianza olimpica
Moderatore: tutor
Ecco un problema serie IMO 1978:
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<BR>Data una sequenza di interi positivi distinti {a[1], a[2],..., a[n],...} Dimostrare che per ogni n si ha:
<BR>SUM[k=1, n](a[k]/k^2) >= SUM[k=1, n] (1/k)
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<BR>Risolvetelo e potrete vantarvi con i vostri amici che nel 1978 anche voi avreste vinto una menzione d\'onore.
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<BR>~p3~
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<BR>Data una sequenza di interi positivi distinti {a[1], a[2],..., a[n],...} Dimostrare che per ogni n si ha:
<BR>SUM[k=1, n](a[k]/k^2) >= SUM[k=1, n] (1/k)
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<BR>Risolvetelo e potrete vantarvi con i vostri amici che nel 1978 anche voi avreste vinto una menzione d\'onore.
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<BR>~p3~
ok, è vero, mangio i bambini, ma d\'altronde sono più teneri.... e poi voi per pasqua non mangiate tutti quei poveri agnellini?
Se {b[1], b[2], ..., b[n]} e\' una permutazione che mette in ordine strettamente crescente gli {a} per la proprieta\' dei riarrangiamenti si ha che:
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<BR>SUM[k=1, n](a[k]/k^2) > = SUM[k=1, n] (b[k]/k^2) .
<BR>
<BR>Ma essendo b > =i, si ha che
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<BR>SUM[k=1, n] (b[k]/k^2) > = SUM[k=1, n] (k/k^2)=SUM[k=1, n] 1/k.
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<BR>SUM[k=1, n](a[k]/k^2) > = SUM[k=1, n] (b[k]/k^2) .
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<BR>Ma essendo b > =i, si ha che
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<BR>SUM[k=1, n] (b[k]/k^2) > = SUM[k=1, n] (k/k^2)=SUM[k=1, n] 1/k.
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Ho scoperto, visitando il sito <a href="http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo78.html" target="_blank" target="_new">http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo78.html</a>, di aver dato la stessa soluzione che si trova cola\': del resto il problema e\' quello e la soluzione e\' praticamente obbligata.
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<BR>Ho trovato pero\', una soluzione diversa da quella cola\' proposta, di un altro problema delle IMO dello stesso anno , il seguente:
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<BR>In the triangle ABC, AB = AC. A circle is tangent internally to the circumcircle of the triangle and also to AB, AC at P, Q respectively. Prove that the midpoint of PQ is the center of the incircle of the triangle.
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<BR>Ho trovato pero\', una soluzione diversa da quella cola\' proposta, di un altro problema delle IMO dello stesso anno , il seguente:
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<BR>In the triangle ABC, AB = AC. A circle is tangent internally to the circumcircle of the triangle and also to AB, AC at P, Q respectively. Prove that the midpoint of PQ is the center of the incircle of the triangle.
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l\'omotetia H di centro A e rapporto 1/cos^2(BAC/2) manda il punto medio di PQ nel centro della circonferenza tangente, e il punto medio di BC nel punto di c(ABC) diametralmente opposto ad A.
<BR>La circonferenza tangente è ovviamente la cirocnferenza circoscritta a H(ABC)
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<BR>è uguale alla tua, a quella del sito o a nessuna?
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<BR>(il bello dei problemi di geometria è che lasciano più spazio alla fantasia)
<BR>La circonferenza tangente è ovviamente la cirocnferenza circoscritta a H(ABC)
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<BR>è uguale alla tua, a quella del sito o a nessuna?
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<BR>(il bello dei problemi di geometria è che lasciano più spazio alla fantasia)
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]