Equazione differenziale

[J4Ck202]

Trovare le f(x) che soddisfano
<BR>
<BR>f(x) ^ f\'(x) = e x
<BR>
<BR>

[publiosulpicio]

Il secondo membro vuol dire e*x o per caso e^x?

[J4Ck202]

e*x

[publiosulpicio]

Non potresti dare un aiutino... io, riscrivendo l\'equazione trovo e^(f\'(x)*ln(f(x)))=e^(1+lnx) quindi f\'(x)*ln(f(x))=1+lnx integrando rispetto a x da entrambe le parti si ha f(x)(ln(f(x))-1)=xlnx ma questa come cavolo la risolvo in f(x)?????

[Mathema]

Bisogna trasformare f\'(x) in dy/dx, e scrivere per (questo per maggiore agilità di calcolo) y anzichè f(x). quindi abbiamo lny*dy/dx=1+lnx. moltiplicando i membri per dx otteniamo lny dy = (1+lnx) dx. Ora possiamo integrare, da una parte rispetto a y e dall\'altra rispetto a x, ottenendo y(lny-1)= xlnx, ma da questo punto in poi non ho la minima idea su come fare ad asplicitare l\'equazione, nè in x nè in y... anzi forse non è nemmeno possibile, almeno che non abbia sbagliato qualche calcolo.
<BR>

[publiosulpicio]

Esattamente la stessa cosa che ottengo io, secondo me non è possibile esplicitare la funzione, anche se essa esiste, è quella che soddisfa la condizione scritta da noi.

[Mathema]

Ups..., scusa Publio, ma davvero non mi ero accorto che avevi già scritto la stessa cosa prima di me,...vabbè, pazienza. Cmq hai ragione, non è esplicitable.
<BR>A proposito di equazioni differenziali, sapreste risolvere unproblema del genere? Io il metodo per risolverlo me lo sono inventato da solo, ma forse è qualcosa che si insegna all\'università, non so.
<BR>Cmq, ecco il problema:
<BR>Dato il fascio di curve di equazione y=k/x, trovare un secondo fascio di curve tali che ciascuna di esse sia perpendicolare ad ogni curva del primo fascio.

[publiosulpicio]

Meglio cancellare...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 21-04-2003 17:46 ]

[DD]

sono sicuro che se s\'incontrassero sarebbero perpendicolarissime

[publiosulpicio]

mmm... ho capito... sarà il caso di cancellare il messaggio di prima...

[DD]

Non è necessario... l\'idea è giusta, solo in questo caso non funziona. Prova a traslarlo (il fascio ruotato)

[publiosulpicio]

Bhè, almeno di una cosa sono sicuro, la retta y=x è perpendicolare a tutte le curve del fascio...

[publiosulpicio]

Il fascio hx soddisfa la richiesta, come è facile verificare derivando le due funzioni.

[publiosulpicio]

Invece nel fascio di cubiche x^3/(3k) ogni cubica è perpendicolare alla corrispondente iperbole (con lo stesso k), ma non alle altre.

[DD]

Ritiro anch\'io quello che ho detto... la rotazione funziona solo per curve per l\'origine, nell\'origine (o nel centro della rotazione se diverso da O, è lo stesso)
<BR>
<BR>Devi semplicemente avere il coefficiente angolare di un fascio =-1/il c.a. dell\'altro fascio, che viene x³/3k