Ecco il problema, penso di aver trovato una soluzione ma vorrei vederne una un po' più pulita in modo da capire davvero come funziona la faccenda:
$ 2n+1=a^2 $ e $ 3n+1=b^2 $ implica $ 40|n $
PS: non so mai che titolo dare ai topic, in questo caso cosa sarebbe stato meglio?
Quadrati --> 40|n
In un esercizio del genere la strategia standard è "vincere" un fattore di n alla volta.
Intanto è facile vedere che a è dispari, quindi da $ 2n=(a-1)(a+1) $ si ottiene che $ 4|n $ (infatti i due fattori di 2n hanno distanza 2 e quindi uno di essi è divisibile per 2 e l'altro per 4).
Supponiamo ora che $ n\equiv4 \pmod8 $. Allora si ottiene che $ 5=b^2\pmod8 $ che è assurdo perchè 5 non è un residuo quadratico modulo 8. Allora deve essere $ n\equiv0\pmod8\rightarrow 8|n $.
Per il fattore 5 consideriamo i casi possibili:
$ \begin{array}{c|ccccc} n&0&1&2&3&4\\ 2n+1&1&3&0&2&4\\ 3n+1&1&4&2&0&3 \end{array} $
Ma sia 3n+1 che 2n+1 devono essere quadrati e visto che i quadrati $ \pmod 5 $ sono solo ±1 e 0 ciò è possibile solo per $ n=0\pmod5 $.
Intanto è facile vedere che a è dispari, quindi da $ 2n=(a-1)(a+1) $ si ottiene che $ 4|n $ (infatti i due fattori di 2n hanno distanza 2 e quindi uno di essi è divisibile per 2 e l'altro per 4).
Supponiamo ora che $ n\equiv4 \pmod8 $. Allora si ottiene che $ 5=b^2\pmod8 $ che è assurdo perchè 5 non è un residuo quadratico modulo 8. Allora deve essere $ n\equiv0\pmod8\rightarrow 8|n $.
Per il fattore 5 consideriamo i casi possibili:
$ \begin{array}{c|ccccc} n&0&1&2&3&4\\ 2n+1&1&3&0&2&4\\ 3n+1&1&4&2&0&3 \end{array} $
Ma sia 3n+1 che 2n+1 devono essere quadrati e visto che i quadrati $ \pmod 5 $ sono solo ±1 e 0 ciò è possibile solo per $ n=0\pmod5 $.
perchè deduci che n deve essere congruo a 0 mod 8?Veluca ha scritto:In un esercizio del genere la strategia standard è "vincere" un fattore di n alla volta.
Intanto è facile vedere che a è dispari, quindi da $ 2n=(a-1)(a+1) $ si ottiene che $ 4|n $ (infatti i due fattori di 2n hanno distanza 2 e quindi uno di essi è divisibile per 2 e l'altro per 4).
Supponiamo ora che $ n\equiv4 \pmod8 $. Allora si ottiene che $ 5=b^2\pmod8 $ che è assurdo perchè 5 non è un residuo quadratico modulo 8. Allora deve essere $ n\equiv0\pmod8\rightarrow 8|n $.
Per il fattore 5 consideriamo i casi possibili:
$ \begin{array}{c|ccccc} n&0&1&2&3&4\\ 2n+1&1&3&0&2&4\\ 3n+1&1&4&2&0&3 \end{array} $
Ma sia 3n+1 che 2n+1 devono essere quadrati e visto che i quadrati $ \pmod 5 $ sono solo ±1 e 0 ciò è possibile solo per $ n=0\pmod5 $.
Ok grazie mille 
per l'ultimo pezzo andava anche bene sommare le due equazioni, ottenere $ a^2+b^2=5n+2 $ e quindi mod $ 5 a^2 \equiv b^2 \equiv 1 $?
EDIT @danielf: lui ha trovato che 4|n, quindi inserisce n=4k nella seconda equazione e ottiene $ 12k+1=b^2 $, che è assurdo modulo 8 a meno che k sia pari, e quindi 8|n. O almeno, io me la vedo così
per l'ultimo pezzo andava anche bene sommare le due equazioni, ottenere $ a^2+b^2=5n+2 $ e quindi mod $ 5 a^2 \equiv b^2 \equiv 1 $?EDIT @danielf: lui ha trovato che 4|n, quindi inserisce n=4k nella seconda equazione e ottiene $ 12k+1=b^2 $, che è assurdo modulo 8 a meno che k sia pari, e quindi 8|n. O almeno, io me la vedo così
Ultima modifica di Sonner il 06 lug 2010, 18:41, modificato 1 volta in totale.
$ a^2 \equiv b^2 \equiv 1 \pmod 5 $, grazie mille