Si determinino i valori del parametro a per cui l'equazione
x^3-x+a = 0
ha tre radici intere.
Problema di ammissione al Sant'anna per ingegneria.. Vi dico la mia soluzione che non mi convince più di tanto.
Riscrivo l'equazione:
x(x+1)(x-1)=-a
Perchè abbia 3 radici intere, significa che , con a costante, ci devono essere 3 valori interi distinti di x per cui x(x+1)(x-1) è sempre uguale a "-a". (non sono sicurissimo di questa affermazione, ditemi se ha un senso).
Detto questo, noto che x,x+1 e x-1 devono essere interi consecutivi.
Ma non esistono tre terne di interi consecutivi tali che, moltiplicando tra loro i 3 elementi di ogni terna, otteniamo sempre lo stesso risultato: A MENO CHE o x,o x-1,o x+1 non siano uguali a 0. In ognuno di questi 3 casi avremmo un prodotto che vale 0.
Quindi a=0 è l'unico parametro per cui x^3-x+a=0 abbia 3 radici intere. (che sono -1,0,1)
Aspetto smentite xD
Si determinino i valori del parametro a....per 3 radici
Soluzione da "maturità". Studiamo la cubica:
$ f(x)=x^3-x+a $
la sua derivata prima $ f'(x)=3x^2-1 $ si annulla in $ \pm1/\sqrt{3} $, che sono un massimo (-) ed un minimo (+).
Ora $ f(\pm1/\sqrt{3})=a\mp2/\sqrt{27} $ e, affinché l'equazione abbia più di una soluzione (reale) tali valori devono essere discordi, quindi il massimo deve essere positivo e il minimo negativo, dunque
$ a+2/3\sqrt{3}\geq 0 $
$ a-2/3\sqrt{3}\leq 0 $
quindi riassumendo
$ |a|\leq 2/3\sqrt{3} $.
Del resto, un polinomio monico ha tre radici intere solo se ha coefficienti interi. L'unico intero che soddisfa simili limitazioni di modulo è 0, quindi a=0.
$ f(x)=x^3-x+a $
la sua derivata prima $ f'(x)=3x^2-1 $ si annulla in $ \pm1/\sqrt{3} $, che sono un massimo (-) ed un minimo (+).
Ora $ f(\pm1/\sqrt{3})=a\mp2/\sqrt{27} $ e, affinché l'equazione abbia più di una soluzione (reale) tali valori devono essere discordi, quindi il massimo deve essere positivo e il minimo negativo, dunque
$ a+2/3\sqrt{3}\geq 0 $
$ a-2/3\sqrt{3}\leq 0 $
quindi riassumendo
$ |a|\leq 2/3\sqrt{3} $.
Del resto, un polinomio monico ha tre radici intere solo se ha coefficienti interi. L'unico intero che soddisfa simili limitazioni di modulo è 0, quindi a=0.
grazie
Grazie delle soluzioni alternative, molto più carine! Scusate ma non sono abituato a scrivere dimostrazioni perchè sono di un liceo classico e su questo tipo di matematica devo quindi allenarmi da solo :S
Ma la mia può essere considerata corretta? Ci sono "falle" logiche?
Ma la mia può essere considerata corretta? Ci sono "falle" logiche?
Re: Si determinino i valori del parametro a....per 3 radici
il fatto che dica "tre radici intere" implica che esse debbano essere distinte o no? in caso contrario avremmo infinite soluzioni....
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Re:
Perfetto ma non si può trovare l'intervallo di esistenza dell'equazione e usare il teorema di Bolzano per le radici reali?EvaristeG ha scritto:Soluzione da "maturità". Studiamo la cubica:
$ f(x)=x^3-x+a $
la sua derivata prima $ f'(x)=3x^2-1 $ si annulla in $ \pm1/\sqrt{3} $, che sono un massimo (-) ed un minimo (+).
Ora $ f(\pm1/\sqrt{3})=a\mp2/\sqrt{27} $ e, affinché l'equazione abbia più di una soluzione (reale) tali valori devono essere discordi, quindi il massimo deve essere positivo e il minimo negativo, dunque
$ a+2/3\sqrt{3}\geq 0 $
$ a-2/3\sqrt{3}\leq 0 $
quindi riassumendo
$ |a|\leq 2/3\sqrt{3} $.
Del resto, un polinomio monico ha tre radici intere solo se ha coefficienti interi. L'unico intero che soddisfa simili limitazioni di modulo è 0, quindi a=0.
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"
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