VARIANTE DEL QUESITO 7 MATURITA' PNI, DATE UN'OCCHIATA.

[seve1991]

ragazzi mi è stato posto il seguente quesito, una variante del quesito 7 di probabilità proposto all'esame di maturità dei licei scientifici PNI 2010:
LA SIGNORA ANNA AFFERMA DI AVERE ESATTAMENTE 2 FIGLI, DI CUI UNO E' UNA DONNA CHE E' NATA DI GIOVEDI'. QUALE E' LA PROBABILITA' CHE ANCHE IL SECONDO FIGLIO SIA UNA DONNA????
mi dite che cosa vi risulta e che ragionamento avete fatto??? non so quale sia il risultato corretto, a me viene 10/21

[seve1991]

ho anche provato ad abbozzare una risposta.
Avendo 2 figli le disposizioni possibili possono essere : FF FM MF MM.

Escludo a priori che possa verificarsi il caso MM, ne restano 3.

Ora io pensavo che sapendo il giorno di nascita, se faccio riferimento ai giorni della settimana mi è possibile determinare l’ordine esatto tra FM e MF. Sapendo infatti che una delle donne è nata al giovedì posso dire che se l’altro è nato

· al lunedì si saranno possibili solo le disposizioni FF e MF (il nato del lunedì è il primo)

· al martedì FF MF

· al mercoledì FF MF

· al giovedì invece FF FM MF

· al venerdì FF FM (il nato del venerdì è il secondo nella disposizione)

· al sabato FF FM

· alla domenica FF FM

Pertanto nei primi 3 giorni la possibilità di avere FF è un mezzo, al giovedì un terzo, gli ultimi 3 un mezzo. Quindi posso dire che la probabilità che cerco è 1/7 * 1/3 + 6/7 *0.5 = 10/21

Anche cambiando il giorno di nascita o facendo finta di iniziare la settimana da un giorno diverso dal lunedì, il risultato non cambia.

[Ani-sama]

Ci tengo a sottolineare che il calcolo delle probabilità è una modellizzazione matematica di situazioni concrete. Quindi, data una certa situazione concreta, il compito del probabilista è quello di scegliere la modellizzazione corretta. O meglio: la migliore.

In questo caso, per dire, il dato che una delle due figlie sia nata di giovedì non mi sembra sensibile...

[seve1991]

volevo capire se si fosse trattato di eventi indipendenti o dipendenti, perchè apparentemente l'informazione sembra superflua. Però non ne ero sicuro e volevo capire con certezza.

[Tibor Gallai]

anche io subito pensavo non fosse un dato sensibile, se però la prof mi dice che il risultato è diverso allora penso che il dato potrebbe essere sensibile. Poi non so magari mi sono lasciato condizionare...

Quello che scrivi nel tuo 2° post è nonsense totale.

Poi l'espressione "dato sensibile" viene usata qui in un modo che credo improprio. In matematica non l'ho mai sentita, mentre nel diritto i dati sensibili sono alcuni dati personali di un individuo, tra cui non è inclusa la data di nascita. Forse era meglio dire "rilevante" anziché "sensibile".

[rimossa una garrula invettiva]

[seve1991]

ok scusate per il secondo post, semplicemente volevo chiedervi se secondo voi si trattava di eventi dipendenti o no. Nessuna polemica.

[Tibor Gallai]

Ebbene sì, sesso del nascituro e giorno di nascita sono indipendenti. Almeno, se il problema non specifica diversamente, puoi modellarli come indipendenti.

[seve1991]

ok grazie delle risposte. se qualcuno vuole chiudere il post è libero di farlo, credevo che il problema potesse offrire più spunti di riflessione. Io, se creo un post, non posso poi anche chiuderlo??

[Tibor Gallai]

ok grazie delle risposte. se qualcuno vuole chiudere il post è libero di farlo, credevo che il problema potesse offrire più spunti di riflessione. Io, se creo un post, non posso poi anche chiuderlo??

Sarebbe il sogno di ogni troll.

Comunque se sei scettico e hai molto tempo libero, puoi farti il mega-albero delle varie possibilità (196, per l'esattezza) in cui elenchi cose tipo:

sesso figlio 1: maschio, giorno figlio 1: lunedì, sesso figlio 2: maschio, giorno figlio 2: lunedì;
sesso figlio 1: maschio, giorno figlio 1: lunedì, sesso figlio 2: maschio, giorno figlio 2: martedì;
sesso figlio 1: maschio, giorno figlio 1: lunedì, sesso figlio 2: maschio, giorno figlio 2: mercoledì;
etc etc.

Sono tutti equiprobabili, e su questi puoi effettivamente tener conto di tutti i dati relativi al sesso e al giorno di nascita. Vedrai che, con molta pazienza, anche facendo le cose in modo così bovino, la probabilità ti verrà 1/3.
[EDIT: non viene 1/3, ma 13/27.]

[seve1991]

uhm sì in effetti devo ammettere che non sono sicurissimo, ho ancora molti dubbi. Però lo schema come lo hai impostato tu non penso vada bene perchè non hai tenuto conto dei 2 vincoli: ovvero che c'è sempre almeno una donna e che è nata al giovedì

[Tibor Gallai]

Niente, mi arrendo.

[seve1991]

ahah sì in effetti potrei ammettere di essere testardo. Sicuramente avrai ragione tu però, io mi considero un dilettante e ho molto da imparare, sono qui per questo. Aspetto la risposta che mi diranno a scuola e vi farò sapere!!!

[ndp15]

Ti prego torna dicendo che viene 10/21 e che è giusto cosi perchè l'ha detto il tuo prof di matematica (laureato in fisica!).
Cosi Tibor raggiunge la disperazione totale
Comunque non ho per niente capito la tua soluzione, anche se direi anche io che è sbagliata.

[SkZ]

Ora io pensavo che sapendo il giorno di nascita, se faccio riferimento ai giorni della settimana mi è possibile determinare l’ordine esatto tra FM e MF. Sapendo infatti che una delle donne è nata al giovedì posso dire che se l’altro è nato

No. se io nasco 7k-1 giorni dopo mia sorella non sono nato prima solo perche' sono nato il giorno prima della settimana.
ogni gg sono possibili 3 casi

Perche' la tua prof dice che cambia? Perche' ricorda male il problema o si confonde con uscite simili. Forse a lei l'hanno posto come
"qual e' la probabilita' che abbia due femmine sapendo che mia figlia e' nata di giovedi?"
dove l'informazione e' avere una figlia non che e' nata di giovedi'. Come nel quasito "il prodotto delle eta' dei miei 3 figli e' quel numero e oggi e' la somma delle eta'. Inoltre mio figlio maggiore ha gli occhi azzurri", dove l'informazione e' che c'e' UN figlio maggiore.

[Tibor Gallai]

Ok fermi tutti, ci ho pensato un attimo (dopo una dormita ) e in effetti si tratta di un bel paradosso. Non dico che debba essere farina della tua prof (anzi, sono convinto che non lo sia), comunque la risposta cambia per un motivo abbastanza sottile, e nonostante giorno di nascita e sesso siano indipendenti.
La risposta qui è 13/27, provare per credere.

In generale, se ci viene data un'informazione di probabilità $ $p $ sulla figlia (in questo caso $ $p=1/7 $), la risposta è $ $\frac{2-p}{4-p} $. Ora vedete che il problema originale si ottiene ponendo $ $p=1 $ (non ci viene data alcuna informazione aggiuntiva, che è come avere un'informazione aggiuntiva di probabilità 1, e quindi già nota), in cui la risposta è 1/3, mentre per $ $p=0 $ si ottiene 1/2. Quindi per esempio dicendo che una figlia è nata il 29 febbraio ($ $p=1/1461 $) c'è una probabilità maggiore di 0,4999 che anche l'altra figlia sia femmina.

Intuitivamente, più diminuisce $ $p $, più l'informazione che ci viene data su una figlia è "improbabile a priori", più diminuiscono i casi in cui una figlia può essere confusa con l'altra. Per $ $p=0 $, l'informazione su una figlia è così "unica" da renderla completamente distinta dall'altra, e da rendere addirittura irrilevante l'informazione che sia una femmina... In tal caso, sarebbe come dire "la figlia più vecchia è femmina" (riconducendosi all'altra versione del problema di Gardner), nel senso che l'altro figlio ha probabilità 0 di essere anch'esso il più vecchio, e quindi sarà maschio o femmina con probabilità 1/2.

Altro esempio: "ho una figlia femmina che ha vinto la lotteria, qual è la probabilità che anche l'altro mio figlio sia femmina?"
E' praticamente come dire: "uno dei miei due figli ha vinto la lotteria, qual è la probabilità che l'altro sia femmina?" (perché l'informazione improbabile, e quindi sorprendente/rilevante, è che abbia vinto la lotteria, e non che si femmina)
O anche: "il più vecchio [o giovane] dei miei figli ha vinto la lotteria, qual è la probabilità che l'altro sia femmina?" (perché l'aver vinto la lotteria è così improbabile da distinguerlo già dall'altro figlio, quindi sapere se è il primo o il secondo non cambia nulla)
O anche: "qual è la probabilità che il mio figlio più giovane [o vecchio] sia femmina?" (perché il sesso di un figlio non dipende dalle caratteristiche dell'altro figlio, quindi possiamo evitare di specificarle)

Chiedo scusa se prima ho dato una valutazione superficiale della questione.