Costruzioni geometriche for dummies

[TBPL]

Problema 13
Dato un segmento lungo 1 e un segmento lungo x, costruire un segmento lungo 1/x.

Disegno a caso sul piano un segmento OX lungo x. Faccio la crf. di centro O e raggio 1. Ora distinguo due casi:
- Se X è esterno alla crf., traccio le tangenti alla crf. passanti per X. Chiamo i p.ti di tangenza U e V, chiamo Y l'intersezione fra UV e OX. Allora $ OY=OU^2/OX=1/x $
- Se X è interno, allora traccio una corda a distanza x da O passante per X. Chiamo gli estremi della corda U e V. Faccio le tangenti in U e V, che si intersecano in Y. Allora per la costruzione precedente OY=1/x

Problema 12
Dato un segmento lungo 1, un segmento lungo x e un segmento lungo y, costruire un segmento lungo xy.

Suppongo che x>1. In caso contrario, applico la costruzione dell'inverso sia a x che a y, e una volta ottenuto il segmento lungo 1/xy, riapplico la costruzione dell'inverso.

Prendo un punto A a caso sul piano e disegno su una retta a caso per A e il segmento AB lungo x, poi disegno il segmento AC lungo y perpendicolare ad AB e la circonferenza di centro A e raggio 1. Faccio la retta r parallela ad AB per C e la tangente alla crf. per B. Queste due rette si incontrano in X. Il triangolo ABX ha area xy/2 e l'altezza relativa a BX è lunga 1, quindi BX=xy.

[Tibor Gallai]

pongo BC=1

Il segmento di lunghezza 1 è dato, non puoi porlo come ti pare.

[Haile]

pongo BC=1

Il segmento di lunghezza 1 è dato, non puo porlo come ti pare.

Già. In effetti era preoccupante il fatto che BE non dipendesse dal segmento unitario. D'oh!

[Tibor Gallai]

Molto bene, TBPL.
Esistono delle costruzioni alternative per il 12 e il 13, forse leggermente più semplici, che usano delle omotetie.
Chi le trova?

[GioacchinoA]

Probabilmente Tibor si riferisce a questo...
Prendo una retta r e su essa $ $OA = 1$ $ e traccio un'altra retta s per O. Su uan stessa semiretta di origine O prendo $ $OB= x$ $ e $ $BC=1$ $. congiungo B con A e da C traccio la parallela a BA che incontri r in D. Allora $ $AD = \frac{OA\cdot BC}{OB} = \dfrac{1}{x}$ $. Se nella stessa costruzione prendo $ $OA = x , OB = 1 , BC = y$ $ ho che $ $AD = xy$ $. Inoltre se prendo $ $OA=x , OB = y, BC=1$ $ ho che $ $AD = \frac{x}{y}$ $.

[Tibor Gallai]

Ok, hai usato Talete, e va bene. La costruzione che avevo in mente era leggermente diversa, ma questa è altrettanto semplice.

A questo punto, forti dei Problemi 11, 12 e 13, dovreste risolvere senza fatica il 14 e il 15:

Problema 14
Costruire un rettangolo aureo.

Problema 15
Costruire un pentagono regolare.

[<enigma>]

Essendo un novellino a pieno titolo, mi cimento nel 14
Abbiamo un segmento lungo 1, costruiamo un altro lungo $ \sqrt 5 $, gli aggiungiamo il segmento originario e lo dimezziamo, ottenendo così un lato di $ (1+\sqrt 5 )/2 $. Esplicitando i passaggi della costruzione, sia $ AB $ il segmento dato di lunghezza 1. Tracciamo la perpendicolare per $ A $ e riportiamoci sopra cinque volte la lunghezza di $ AB $ in modo da avere il segmento $ AC $ lungo cinque volte $ AB $; con la costruzione del problema 11 costruisco (eventualmente riportandone la lunghezza in modo da farlo giacere su $ AC $) un segmento $ AD $ lungo $ \sqrt {AC} $ e giacente su $ AC $ (a questo punto $ AD= \sqrt 5 AB $); riporto poi ancora la lunghezza di $ AB $ aggiungendola a quella di $ AD $ in modo da avere un segmento $ AE (=AD+AB) $ lungo $ (\sqrt 5 +1)AB $; ora biseco $ AE $ con la costruzione del problema 1 e avrò un segmento $ AF $ lungo $ (\sqrt 5 +1)/2 $ con un estremo in $ A $ e perpendicolare ad $ AB $. Traccio la parallela ad $ AF $ per $ B $ e la parallela ad $ AB $ per $ F $ con la costruzione del problema 2 ed ottengo così un rettangolo di lati $ AB $ e $ AF=\phi \cdot AB $.

[<enigma>]

Una costruzione alternativa più elegante, con cui è anche possibile fare il 15:
dato $ AB $, ne costruisco il punto medio $ M $ col P1 e un segmento $ BC \equiv AB $ perpendicolare ad $ AB $ e passante per $ B $: puntando col compasso in $ M $ riporto $ C $ sul prolungamento di $ AB $ dalla parte di $ B $, ottenendo così un segmento $ AD= \phi \cdot AB $. Costruisco ora un rettangolo di lati $ AD $ e $ AB $ col P2.
Dimostrazione: $ MC= \sqrt { \left ( \frac {AB} 2 \right ) ^2+ (AB)^2}=\frac {\sqrt 5} 2 AB $ per Pitagora, $ AD=MC+\frac {AB} 2 = \frac {\sqrt 5 +1} 2 AB $.