Siano a,b,c numeri reali positivi tali che a+b+c=1. Mostrare che:
$ $ \displaystile a\cdot\sqrt{a} + b\cdot\sqrt{b} + c\cdot\sqrt{c} \geq \frac{1}{\sqrt{3}} $
Non è difficile... anzi... piuttosto semplice
Disuguaglianza
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Disuguaglianza
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
Allora applico Cauchy-Schwarz considerando le 3-uple a, b, c e $ \sqrt a, \sqrt b, \sqrt c $, quindi
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c)^2 \geq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^2+b^2+c^2) $
Appico poi il QM-AM e ottengo che
$ $\sqrt {\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \geq \frac{1}{3} $
$ $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3} $ e ritornando alla disuguaglianza di prima
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c)^2 \geq \frac{1}{3} $
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c) \geq \frac{1}{\sqrt 3} $
Q.E.D.
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c)^2 \geq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^2+b^2+c^2) $
Appico poi il QM-AM e ottengo che
$ $\sqrt {\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \geq \frac{1}{3} $
$ $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3} $ e ritornando alla disuguaglianza di prima
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c)^2 \geq \frac{1}{3} $
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c) \geq \frac{1}{\sqrt 3} $
Q.E.D.
cogito ergo demonstro
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Identica alla mia... (faceva parte di un esercizio del test iniziale del senior 2005)Euler ha scritto:Allora applico Cauchy-Schwarz considerando le 3-uple a, b, c e $ \sqrt a, \sqrt b, \sqrt c $, quindi
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c)^2 \geq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^2+b^2+c^2) $
Appico poi il QM-AM e ottengo che
$ $\sqrt {\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \geq \frac{1}{3} $
$ $a^2+b^2+c^2 \geq \frac{1}{3} $ e ritornando alla disuguaglianza di prima
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c)^2 \geq \frac{1}{3} $
$ $(a\sqrt a+b\sqrt b+c \sqrt c) \geq \frac{1}{\sqrt 3} $
Q.E.D.
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
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