Problema simil - Febbraio
allora, provo il mio primo problema
(m+n)/mn=1/p
mn=p(m+n) (1)
ora, p è divisore di m, di n o di entrambi
se divide uno tra m e n (è indifferente, tanto la (1) è simmetrica), posso porre m=px
quindi (dalla (1)) pxn=p(px+n)
(x-1)n=px (2)
ora, p deve dividere uno tra (x-1) e n, visto che per ipotesi p divide m ma non n, posso porre (x-1)=py e, sostituendo nella (2), pyn=px, ovvero yn=x
sostituendo nella (2)m ottengo (yn-1)n=pyn
yn-1=py
y(n-p)=1
siccome tutte le variabili sono intere positive, l'unica possibilità è che y=1 e (n-p)=1,
ovvero n=p+1
Dalla (2) ottengo xn-n=px
x=n/(n-p)=(p+1)/(p+1-p)=p+1
quindi m=px=p(p+1)
Quindi (m,n)=(p(p+1),p+1)
Se era p divideva n ma non m ottenevo la simmetrica (m,n)=(p+1,p(p+1))
Se p divide sia m che n , posso porre m=px e n=py
Sostituendo nella (1) ho p^2 xy=p(px+py)
xy=x+y
x=xy-y
y=x/(x-1)
siccome (x-1) e x sono consecutivi, l'unico caso in cui non sono coprimi è x=2
(in realtà ci sarebbe anche x=y=0, ma non è accettabile)
y=2
Quindi m=n=2p
Quindi (m,n)=(2p,2p)
(m+n)/mn=1/p
mn=p(m+n) (1)
ora, p è divisore di m, di n o di entrambi
se divide uno tra m e n (è indifferente, tanto la (1) è simmetrica), posso porre m=px
quindi (dalla (1)) pxn=p(px+n)
(x-1)n=px (2)
ora, p deve dividere uno tra (x-1) e n, visto che per ipotesi p divide m ma non n, posso porre (x-1)=py e, sostituendo nella (2), pyn=px, ovvero yn=x
sostituendo nella (2)m ottengo (yn-1)n=pyn
yn-1=py
y(n-p)=1
siccome tutte le variabili sono intere positive, l'unica possibilità è che y=1 e (n-p)=1,
ovvero n=p+1
Dalla (2) ottengo xn-n=px
x=n/(n-p)=(p+1)/(p+1-p)=p+1
quindi m=px=p(p+1)
Quindi (m,n)=(p(p+1),p+1)
Se era p divideva n ma non m ottenevo la simmetrica (m,n)=(p+1,p(p+1))
Se p divide sia m che n , posso porre m=px e n=py
Sostituendo nella (1) ho p^2 xy=p(px+py)
xy=x+y
x=xy-y
y=x/(x-1)
siccome (x-1) e x sono consecutivi, l'unico caso in cui non sono coprimi è x=2
(in realtà ci sarebbe anche x=y=0, ma non è accettabile)
y=2
Quindi m=n=2p
Quindi (m,n)=(2p,2p)
Ok, impara il $ \LaTeX $ ci vuole poco per le cose semplici come queste.
Comunque usando più o meno lo stesso metodo puoi riparmiarti una sostituzine.
Da $ p(m+n)=mn $ come hai fatto puoi porre $ m=xp $ sostituisci e arrivi a $ xp+n=xn $ qua invece di scomporre come hai fatto tu:
$ x(n-p)=n \Rightarrow x=\frac n{n-p} $ che è intero quindi $ n-p|n $ ora classico $ \frac n{n-p}=\frac{(n-p)+p}{n-p}=1+\frac p{n-p} $ quindi le uniche possibilità cono $ n-p=1 $ e $ n-p=p $ sostituisci e trovi quelle soluzioni.
@Fabroz: La terza coppia è sbagliata, non ho controllato i calcoli ma direi che si vede che $ p-p^2 $ è abbastanza negativo
Comunque usando più o meno lo stesso metodo puoi riparmiarti una sostituzine.
Da $ p(m+n)=mn $ come hai fatto puoi porre $ m=xp $ sostituisci e arrivi a $ xp+n=xn $ qua invece di scomporre come hai fatto tu:
$ x(n-p)=n \Rightarrow x=\frac n{n-p} $ che è intero quindi $ n-p|n $ ora classico $ \frac n{n-p}=\frac{(n-p)+p}{n-p}=1+\frac p{n-p} $ quindi le uniche possibilità cono $ n-p=1 $ e $ n-p=p $ sostituisci e trovi quelle soluzioni.
@Fabroz: La terza coppia è sbagliata, non ho controllato i calcoli ma direi che si vede che $ p-p^2 $ è abbastanza negativo
Questo non c'entra perchè tra le ipotesi c'è che m e n siano entrambi positivi....fraboz ha scritto:è vero Claudio ma $ |p-p^2|>p-1 $ e ciò implica che $ \displaystyle \frac{1}{|p-p^2|}<\frac{1}{p-1} $ e ciò implica che la somma tra le due frazioni sia positiva. oppure sto facendo confusione?
Ultima modifica di Claudio. il 16 giu 2010, 14:44, modificato 2 volte in totale.
immagina che il minimo tra m,n,p sia 7,al massimo si avrebbe cheClaudio. ha scritto:Riguardo il problema di prima:Scusate, sarà che non vedo qualcosa di stupido, ma come si arriva da quello a $ 1\le\frac3m $ ?Giuseppe R ha scritto:$ m \leq n \leq p $ che implica $ \frac{1}{m} \geq \frac{1}{n} \geq \frac{1}{p} $. Da cui segue $ 1 \leq \frac{3}{m} $ ovvero $ m \leq 3 $.
1/7 +1/7 +1/7 =3/7 <1
ora immagina che il minimo tra m,n,p sia k
1/m+1/m+1/m >= 1
3/m>=1
m<=3