x triangoli

[io.gina2]

giusta osservazione...
allora non saprei proprio come fare...
io cmq ho pensato di disegnare dei punti (che sarebbero i vertici dei triangoli) e di disporli allineati in modo che ci fossero meno segmenti possibili che li unissero...

e cmq mi sono resa conto che non è necessario che i vertici siano tutti allineati!

esempio con tre triangoli:
il vertice B2 non appartiene al segmento B1-B3 ma a A1-B3, quindi si risparmierebbe un trattino poichè A1, B2 e B3 sono collegati da una sola retta, ma si ha un segmento in più per unire B1-B2

[Tibor Gallai]

Ma infatti non penso proprio che questo sia uno dei problemi più istruttivi per chi inizia. Io odierei dover scrivere una dimostrazione di questa cosa.

[SkZ]

considerato il caso generale abbiamo:
3x vertici che sono collegati da $ $\frac{3x(3x-1)}{2} $ segmenti (strette di mano tra 3 elementi)
i lati non ci interessano ergo -3x, quindi
$ $\frac{3x(3x-3)}{2}=\frac{9x(x-1)}{2} $

se i vertici sono x a x allineati, abbiamo di troppo $ $3\frac{x(x-1)}{2}-3 $ (3 volte le strette di mano tra x elementi tolte le 3 che rimangono)

Pero'
prendiamo un triangolo e un suo punto interno e tracciamo la retta che congiunge questo con il vertice piu' vicino. Poi prendiamo su tale retta un punto e tracciamo una retta passante per questo punto e un'atro dei vertici del triangolo e infine una retta tra il primo punto e il terzo vertice del triangolo.
Ho cosi' costruito 2 triangoli interni uno all'altro i cui vertici si collegano con 6 segmenti, lati dei triangoli esclusi.
il vostro calcolo dice 9
per 3 trinagoli anche con questo sistema si hanno 21 rette

[io.gina2]

ok, ottima soluzione! =)
ma se i triangoli fossero 3?? A me verrebbe 21 che è lo stesso risultato che si ottiene nell'altra maniera...
Se fossero 4 dovrebbe venire 45, invece nell'altro 39...
Non so se ho sbagliato qualcosa...

[SkZ]

ho non ho detto che questo sistema e' il migliore, e' solo un controesempio al vostro

da 3 a 4 allineando il terzo triangolo col primo e terzo triangolo si dovrebbe avere 42 che cmq e' troppo.
Probabile che per x>2 l'allineamento x a x sia il migliore, ma per x=2 no

[dw28]

Wow......quante risposte......non pensavo che questo fosse un forum così tanto prolifico....!

Ahi, sono stato troppo impulsivo ad aprire questo topic: la prima soluzione che mi è saltata in mente mi è sembrata giusta, senza neanche una minima dimostrazione.
Comunque il metodo di SkZ l'avevo provato anch'io per 3 triangoli, ma vedendo che ottenevo la stessa soluzione, ho dato per ovvio che i due sistemi fossero uguali. Doppiamiente impulsivo: gosh!

Ora però ci tocca dare una soluzione finale con tanto di dimostrazione.

[SkZ]

penso di aver trovato.
dato il primo triangolo, si tracciano tre rette passanti per i vertici che non si incontrano in 1 punto, quindi formano un triangolo al centro. Questo e' il x-esimo tringolo.
Gli altri si costruiscono con i verici uno per retta.
alla fine hai vertici x+1 a x+1 allineati, ergo
$ $\frac{9x(x-1)}{2} $ meno le strette di mano in eccesso $ $3\frac{x(x+1)}{2}-3-3 $ (in tal caso elimino una seconda volta i lati del tringolo piu' interno), ovvero
$ ~3x^2-6x+6=3x(x-2)+6 $

si dimostra facilmente che spostando un punto per allinearlo con altri uccidi tot segmenti, ma li crei di conseguenza.

[dw28]

Bene. In pratica rispetto al mio metodo allineeresti in più il triangolo più interno in modo da risparmiare nel caso di 2 triangoli 1 segmento per ogni allineamento (in toltale 3), nel caso di 3 triangoli 2 segmenti per ogni allinemento (in totale 6), e così via. Quindi in generale si risparmierebbero 3(x-1) segmenti. Infatti:
3(x^2-x+1)-3(x-1)=3x^2-6x+6

Ma chi ci dice che non ci sia un metodo migliore?

Alt, e chi ci dice che i triangoli non possano essere degeneri? Quindi la soluzione minore sarebbe 0 (battutaccia)!!

[SkZ]

Ci avevo pensato, piu' che altro se i vertici stanno sul lato del precedente, ma mi pareva che i tringoli fossero interni. Considerato un triangolo come un compatto di interno non nullo, si puo' intendere che un tringolo e' interno ad un altro quando e' contenuto nell'interno di questo.
Ma

Se ho x triangoli l'uno nell'altro, quanti segmenti devo tracciare al minimo per unire ogni vertice di ogni triangolo a tutti i vertici dei triangoli restanti?
(osservazione: si considera che con un segmento si possano unire anche più di due vertici)

ergo i punti del secondo triangolo possono appartenere anche alla frontiera.

sarebbe da vedere se costruendo i triangoli sui lati del precedente stando alternativamente allineati si ha un vantaggio

generalmente "non degenere" e' sottointeso Caso banale. Ma potrebbero essere coincidenti

[SkZ]

coi vertici sui lati
preso un triangolo e un punto interno (il baricentro e' comodo ), si tracciano le tre rette che passano per i vertici e il punto.
Il prossimo triangolo ha per vertici l'intersezione dei lati del precedente triangolo con le rette.
per x=4 hai 21
la sua particolarita' e' che aggiungendo un triangolo aggiungi 6(x-1) segmaneti, a partire da x=3
x=2 0
x=3 9=3+6
x=4 21=9+6(4-2)
....

$ 3x^2-9x+9 $ per x>2

[dw28]

Ci avevo pensato, piu' che altro se i vertici stanno sul lato del precedente, ma mi pareva che i tringoli fossero interni. Considerato un triangolo come un compatto di interno non nullo, si puo' intendere che un tringolo e' interno ad un altro quando e' contenuto nell'interno di questo.
Ma

Se ho x triangoli l'uno nell'altro, quanti segmenti devo tracciare al minimo per unire ogni vertice di ogni triangolo a tutti i vertici dei triangoli restanti?
(osservazione: si considera che con un segmento si possano unire anche più di due vertici)

ergo i punti del secondo triangolo possono appartenere anche alla frontiera.

sarebbe da vedere se costruendo i triangoli sui lati del precedente stando alternativamente allineati si ha un vantaggio

generalmente "non degenere" e' sottointeso Caso banale. Ma potrebbero essere coincidenti

Ma non me lo devi spiegare affatto. Non so se hai letto, avevo scritto <<battutaccia>>, ovvero ironia di cattivo gusto e anche provocatoria. So benissimo che è assurdo che un triangolo degenere possa contenere un triangolo.
Però non vedo perchè possano essere coincidenti....

coi vertici sui lati

In verità quando mi sono posto questo problema non intendevo che i triangoli avessero punti in comune, ma evidentemente ciò l'ho solo pensato e non l'ho esplicitato nella traccia . Quindi questo caso non l'avevo preso proprio in considerazione.
Però c'è un errore nel tuo ragionamento : per x=2 il valore dei segmenti da tracciare non nullo, ma è pari a 3. Dunque la soluzione è
$ $3x^2-9x+9$ $, con x≠1
E, resomi conto di ciò, per ora non vedo davvero soluzione migliore......

[SkZ]

mi ero dimenticato le rette centrali
ora torna di piu', molto di piu'