Divisori e P

[karlosson_sul_tetto]

(Da kvant)
Alberto e Barbara civono su una lavagna dei numeri naturali più piccoli di P, a una sola condizione:non si può scrivere un numero che è un divisore di un altro gia scritto.
a)Qualunque sia il gioo dell'avversario, chi ha la strategia vicente con P=10?
b)Qualunque sia il gioo dell'avversario, chi ha la strategia vicente con P=1000?

Bonus(mio):Come si può calcolare chi ha la strategia vincente con P qualunque?

Buon lavoro!

[spugna]

Ma il primo giocatore non potrebbe scrivere subito 0? In teoria è multiplo di tutti i numeri interi (a parte 0).

dei numeri naturali più piccoli di P

Intendevi forse positivi?

[EvaristeG]

1) 0 è multiplo di 0: 0=1*0
ii) il gioco mi pare chieda divisori, e 0 non divide nessun numero a parte 0.

[Spammowarrior]

sì, ma tutti i numeri dividono 0.
quindi il primo che gioca può giocare lo 0, e il secondo perde per forza.

[karlosson_sul_tetto]

non si può scrivere un numero che è un divisore di un altro gia scritto.

Si intende che se c'è 4, non puoi scrivcere 2; se c'è 2, si può scrivere 4.

Il testo dice che quello che stai scrivendo adesso non deve essere un divisore di uno già scritto. Ma un numero già scritto, può essere un divisore del numero che stai scrivendo.

[EvaristeG]

Ok, avevo letto male il testo, quindi hai ragione, Spammowarrior.

karlosson, se il primo che gioca scrive 0, ha vinto:
i) lui può scrivere 0 in quanto 0 non divide P (a meno che 0=P, ma allora non si può giocare)
ii) l'altro non può rispondere nulla perché qualunque numero divide 0, ovvero nessun numero non è divisore di 0.

Quindi per forza di cose si intende numeri positivi.

[karlosson_sul_tetto]

Ok, avevo letto male il testo, quindi hai ragione, Spammowarrior.

karlosson, se il primo che gioca scrive 0, ha vinto:
i) lui può scrivere 0 in quanto 0 non divide P (a meno che 0=P, ma allora non si può giocare)
ii) l'altro non può rispondere nulla perché qualunque numero divide 0, ovvero nessun numero non è divisore di 0.

Quindi per forza di cose si intende numeri positivi.

(Da kvant)
Alberto e Barbara civono su una lavagna dei numeri naturali più piccoli di P, a una sola condizione:non si può scrivere un numero che è un divisore di un altro gia scritto.
a)Qualunque sia il gioo dell'avversario, chi ha la strategia vicente con P=10?
b)Qualunque sia il gioo dell'avversario, chi ha la strategia vicente con P=1000?

Bonus(mio):Come si può calcolare chi ha la strategia vincente con P qualunque?

Buon lavoro!

Define:naturali
Un numero si dice naturale se è intero e maggiore di 0.

P.S:Mi scuso per prima:mi ero sbagliato per aver scritto 0 e cosi via perchè mi ero distratto..

[EvaristeG]

Tanto per chiarire, spesso "naturali" include lo 0 ... non voglio aprire una discussione su quale sia la definizione più in voga (io ho sempre sentito dire che i naturali sono gli interi non negativi), ma consiglierei comunque di specificare sempre "interi positivi" e non dare mai per scontato quale sia la definizione di naturali nella mente del lettore.

[minima.distanza]

beh... per $ P=10 $ è sufficente che il primo inizi col $ 6 $ e il secondo ha due possibilità: eliminare un solo numerio ( scrivendo $ 9 $ o $ 7 $ o $ 4 $ o $ 5 $) oppure levare due numeri scrivendo$ 8 $ o $ 10 $.A questo punto, si distinguono diversi casi:

Se il secondo giocatore toglie un numero che sarebbe stato eliminato scrivendone un altro ( per esempio, 4 o 5), il primo giocatore perde certamente, in ogni caso possibile ( provare per credere).

Quindi il $ 6 $ non è la scelta migliore ( la mia teoria di scrivere all'inizio il primoriale appena minore di P per vincere se ne va al mare....).

Ho come l'impressione però che se $ P= 2n $ allora è sufficente che il primo giocatore, partendo dal $ 2 $, scriva sempre il numero più piccolo disponibile mentre se $ P= 2n+1 $ è sufficente che il primo giocatore scriva come primo numero $ 1 $ e, scrivendo ogni volta il numero più piccolo disponibile, dovrebbe vincere il primo che gioca....

Perchè ? Devo pensarci.

P.S. Scusate se ho messo i numeri in LaTeX, ma ci ho preso gusto...

[Anér]

Mi ricorda tanto il Senior 2008. Do un consiglio

Dimostrare innanzitutto che tra i due giocatori ce ne sta uno che ha la strategia vincente; a quel punto è facile dimostrare per assurdo che non può essere uno dei due (quale?) e quindi è l'altro. Questo ragionamento vale per N qualunque.

[ghilu]

Aggiungo un altro consiglio, questo però di tipo "euristico", meno importante, ma abbastanza "pesante":

Il primo giocatore ha la massima libertà di scelta e può decidere quali e quanti divisori inibire dall'inizio. In particolare potrebbe annichilare i valori vincenti del secondo o addirittura, molto più subdolamente, "nascondere" la propria giocata dando massima libertà all'avversario. In virtù di queste possibilità, è abbastanza naturale convincersi che, se qualcuno deve vincere, al 90% sarà il primo. Certo, può darsi che il secondo sia Gastone, ma essendo invece Barbara e aggiungendo che non sembra un problema di quelli "malvagi" (che cambiano, ad esempio, con n=potenza di 2), l'ipotesi fatta ha un suo senso..

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