Io ho provato a buttar giù qualcosa con le congruenze.. sono arrivato a due soluzioni, ma non so se il procedimento sia corretto, nel caso mi farebbero comodo le correzioni
Parto direttamente da 5n + 5m - 5 = 2mn
quindi mn è congruo a 0 in modulo 5 e m + n è congruo a 1 in modulo 2 (quindi un numero è pari e l'altro è dispari)
Ora ci sono due possibili casi: il numero pari è multiplo di 5 oppure il numero dispari è multiplo di 5.
Nel primo caso metto m=10v, n=2k+1 sostituisco, semplifico ecc.. arrivo a quest'equazione:
k+3v=4vk
quindi k(4v-1) = 3v. 3v può essere divisibile per 4v-1 solo per v = 1 (quindi k viene = 1) quindi si ricavano le due soluzioni: m=10, n=3
Nel secondo caso metto m= 5(2v + 1) e n = 2k sostituisco, semplifico ecc.. arrivo a quest'equazione:
5v+2=4kv+k
quindi v=(2-k)/(4k-5) se k è maggiore di due il numeratore è positivo ed il denomintaore è positivo (quindi v viene negativo) se k è minore di 2 il numeratore viene positivo ed il denominatore viene negativo, quindi v viene negativo e questi due casi sono da scartare, resta solo il caso in cui k =2 e v =0 da questo si ricavano le due soluzioni m=5 n=4
Potrebbe essere giusto? >.<
p.s. mi ero scordato, ci sono anche le altre due coppie di soluzioni m=3,n=10 e m=4, n=5 =D