Diofantea fratta
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Trovare tutte le coppie (m, n) interi positivi tali che $ \frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{mn}=\frac{2}{5}. $
Non è difficile, lasciatelo a chi deve imparare
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cogito ergo demonstro
Io ho provato a buttar giù qualcosa con le congruenze.. sono arrivato a due soluzioni, ma non so se il procedimento sia corretto, nel caso mi farebbero comodo le correzioni
Parto direttamente da 5n + 5m - 5 = 2mn
quindi mn è congruo a 0 in modulo 5 e m + n è congruo a 1 in modulo 2 (quindi un numero è pari e l'altro è dispari)
Ora ci sono due possibili casi: il numero pari è multiplo di 5 oppure il numero dispari è multiplo di 5.
Nel primo caso metto m=10v, n=2k+1 sostituisco, semplifico ecc.. arrivo a quest'equazione:
k+3v=4vk
quindi k(4v-1) = 3v. 3v può essere divisibile per 4v-1 solo per v = 1 (quindi k viene = 1) quindi si ricavano le due soluzioni: m=10, n=3
Nel secondo caso metto m= 5(2v + 1) e n = 2k sostituisco, semplifico ecc.. arrivo a quest'equazione:
5v+2=4kv+k
quindi v=(2-k)/(4k-5) se k è maggiore di due il numeratore è positivo ed il denomintaore è positivo (quindi v viene negativo) se k è minore di 2 il numeratore viene positivo ed il denominatore viene negativo, quindi v viene negativo e questi due casi sono da scartare, resta solo il caso in cui k =2 e v =0 da questo si ricavano le due soluzioni m=5 n=4
Potrebbe essere giusto? >.<
p.s. mi ero scordato, ci sono anche le altre due coppie di soluzioni m=3,n=10 e m=4, n=5 =D
Parto direttamente da 5n + 5m - 5 = 2mn
quindi mn è congruo a 0 in modulo 5 e m + n è congruo a 1 in modulo 2 (quindi un numero è pari e l'altro è dispari)
Ora ci sono due possibili casi: il numero pari è multiplo di 5 oppure il numero dispari è multiplo di 5.
Nel primo caso metto m=10v, n=2k+1 sostituisco, semplifico ecc.. arrivo a quest'equazione:
k+3v=4vk
quindi k(4v-1) = 3v. 3v può essere divisibile per 4v-1 solo per v = 1 (quindi k viene = 1) quindi si ricavano le due soluzioni: m=10, n=3
Nel secondo caso metto m= 5(2v + 1) e n = 2k sostituisco, semplifico ecc.. arrivo a quest'equazione:
5v+2=4kv+k
quindi v=(2-k)/(4k-5) se k è maggiore di due il numeratore è positivo ed il denomintaore è positivo (quindi v viene negativo) se k è minore di 2 il numeratore viene positivo ed il denominatore viene negativo, quindi v viene negativo e questi due casi sono da scartare, resta solo il caso in cui k =2 e v =0 da questo si ricavano le due soluzioni m=5 n=4
Potrebbe essere giusto? >.<
p.s. mi ero scordato, ci sono anche le altre due coppie di soluzioni m=3,n=10 e m=4, n=5 =D
- Nonno Bassotto
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- Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
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Non penso che c'entri con quello che ha chiesto Nonno Bassotto, ma è un suggerimento che voglio darvi comunque...
Qualunque equazione nella forma $ axy+bx+cy+d=0 $ (dove a,b,c,d sono interi $ \neq 0 $ già fissati e x,y le incognite) si può riscrivere nella forma $ (ax+c)(ay+b)=bc-ad $.
Nel nostro caso si arriva subito a $ (2m-5)(2n-5)=15 $, che è di facile risoluzione.
La cosa utile è che equazioni in questa forma non si trovano raramente, e ricordandovi che sono sempre scomponibili in modo furbo sapete già come risolverle.
Qualunque equazione nella forma $ axy+bx+cy+d=0 $ (dove a,b,c,d sono interi $ \neq 0 $ già fissati e x,y le incognite) si può riscrivere nella forma $ (ax+c)(ay+b)=bc-ad $.
Nel nostro caso si arriva subito a $ (2m-5)(2n-5)=15 $, che è di facile risoluzione.
La cosa utile è che equazioni in questa forma non si trovano raramente, e ricordandovi che sono sempre scomponibili in modo furbo sapete già come risolverle.
Membro dell'EATO.
Ci sono 10 tipi di persone: c'è chi sa leggere il codice binario e chi no.
I nemici dell'italiano sono miei nemici.
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Più "a occhio" di così non riesco...
-Uno tra m e n ha un fattore 5. Facciamo m.
-n è almeno 3: chiaramente $ \ \frac{1}{2}\ $ è troppo grande.
-quindi $ \frac{1}{m}=\frac{2}{5}-\frac{1}{n}+\frac{1}{mn}> \frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15} $.
Allora m=5 o m=10 e ho finito...
-Uno tra m e n ha un fattore 5. Facciamo m.
-n è almeno 3: chiaramente $ \ \frac{1}{2}\ $ è troppo grande.
-quindi $ \frac{1}{m}=\frac{2}{5}-\frac{1}{n}+\frac{1}{mn}> \frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15} $.
Allora m=5 o m=10 e ho finito...
Ultima modifica di ghilu il 07 giu 2010, 13:40, modificato 1 volta in totale.
Non si smette mai di imparare.
oookghilu ha scritto:Io aggiungo che non è errata la strada iniziata da pexar94.
Basta ricordarsi che se A|B e A|C allora A|B-C.
5-2m|5(1-m)
2m-5|5m-5 ----> 2m-5|10m-10
2m-5|2m-5 ----> 2m-5|10m-25
2m-5|15
ora i divisori di 15 sono 1,3,5,15
quindi m=3,4,5,10
n di conseguenza è n=5(1-m)/(5-2m)
le coppie sono S= {(3;10);(4;5);(5;4);(10;3)}
Per chi si stesse ancora chiedendo perché $ \frac{1}{m}<\frac{1}{15} $ implica $ m<15 $, ghilu ha sbagliato il verso della disuguaglianza...ghilu ha scritto:$ \frac{1}{m}=\frac{2}{5}-\frac{1}{n}+\frac{1}{mn}< \frac{2}{5}-\frac{1}{3}=\frac{1}{15} $.
Allora m=5 o m=10 e ho finito...
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