Analisi e integrale

[trugruo]

Spostato in MNE, in quanto non mi sembra molto olimpico come argomento - HP

Supponiamo di avere una funzione f(x) definita in [0,1] ,continua,decrescente in [0,1],che passa per (0,1) e (1,0)
e sappiamo quanto vale l'integrale tra 0 e 1 di f(x)
Se ora io definisco g(x) sempre in [0,1] così:
-------f(x) per x appartenente a (0,1]
g(x)=
-------k per x=0 con k diverso da 1

Ha ancora senso chiedersi quanto vale l'integrale da 0 a 1 di g(x) oppure proprio non si può calcolare essendo g(x) non più continua in [0,1] ?

[fph]

Ha ancora senso, e vale ancora lo stesso valore. A questo punto puoi chiederti che cosa succede se "sposti" più punti, diciamo tutti i razionali. La risposta è che prendendo la definizione "classica" di integrale (integrale di Riemann), tutto va a quel paese, la funzione non è più integrabile e non ha più senso nulla. In realtà facendo qualche cambiamento alla definizione di integrale (quella nuova si chiama integrale di Lebesgue) si riesce ad arrivare a una teoria più potente di quella "classica" (nel senso che integri più funzioni, e che valgono teoremi più potenti del tipo 'se $ f_n(x) $ sono integrabili e convergono crescendo a f(x), allora $ \int f_n(x) \to \int f(x) $', o 'se sposti una quantità numerabile di punti, l'integrale non cambia'). Se andrai a studiare matematica, a queste cose ci arriverai con calma dopo aver imparato a padroneggiare gli integrali nel senso classico.

[Tibor Gallai]

valgono teoremi più potenti del tipo 'se $ f_n(x) $ sono integrabili e convergono crescendo a f(x), allora $ \int f_n(x) \to \int f(x) $'

Se non mi piglio un abbaglio, questo è un teorema anche se per "integrabili" si intende secondo Riemann. Solo che non è nota una dimostrazione che non introduca l'integrale secondo Lebesgue. Mi sbaglio?

[fph]

Wikipedia sostiene il contrario, e adduce un controesempio convincente.

[Tibor Gallai]

Esatto, bisogna assumere l'integrabilità secondo Riemann della funzione limite. Ciò che dicevo era: è vero che questa cosa, pur essendo un enunciato che coinvolge solo funzioni Riemann-integrabili, si dimostra solo introducendo l'integrale di Lebesgue?
A me pareva di sì...

[EvaristeG]

Credo che su un compatto della retta reale, con l'ipotesi di integrabilità della funzione limite, si possa dimostrare a mano con le somme di Riemann.

[Tibor Gallai]

Avevo una vecchia versione di certe dispense di Ambrosio-Tilli di teoria della misura e probabilità, con un'introduzione che diceva una cosa simile a quella che sostenevo sopra. La motivazione era un "provare per credere".
Purtroppo non trovo più il file...

Comunque credo che la cosa che dici sia vera nel caso di convergenza uniforme. E in generale?

[Ani-sama]

Purtroppo non trovo più il file...[...]

È tipo questo?

Belle dispense, comunque!

[Tibor Gallai]

Grazie, proprio quello. In verità era una versione precedente, ma la cosa a cui mi riferisco è proprio al fondo della prima pagina dell'introduzione.
Buono, non mi ero sognato tutto...

[ma_go]

qualcuno mi aveva detto che il risultato era stato provato di recente senza usare lebesgue, e mi pare che spulciando scholar per "elementary proofs of the dominated convergence theorem for riemann integrals" o analoghi si trovi qualcosina...

[EvaristeG]

LOL pubblicano ste cose?? Cmq mi ricordo che ci avevo provato con due compagni di corso in facoltà che avevano letto la stessa cosa ... alla fine mi pareva che ce l'avessimo fatta
L'idea era questa:
- ci si restringe a funzioni $ f_n $ su un intervallo [a,b] che tendono a 0
- fissiamo un $ \epsilon $; allora, per ogni x, troviamo k(x) tale che
$ |f_n(x)|<\epsilon $ per ogni $ n\geq k(x) $, per ipotesi di convergenza monotona a 0
- poi, possiamo trovare per ogni n un $ \delta(n) $ tale che, se $ |x_i-x_{i-1}|<\delta(n) $, allora, comunque scelto $ y_i\in (x_i, x_{i+1}) $ si ha
$ \displaystyle\sum_i\int_{x_i}^{x_{i+1}}[f_n(x)-f_n(y_i)]dx<\epsilon_n $
- ora, la disuguaglianza precedente dà una stima sull'oscillazione di f_n nell'intervallo $ [x_i, x_{i+1}] $, quindi riusciamo a costruire (compattezza ... una generalizzazione del teorema di Heine-Borel sui ricoprimenti) una partizione $ x_0<x_1<\ldots<x_m $ e dei punti $ y_i\in(x_i, x_{i+1}) $ di modo che $ |x_i-x_{i+1}|<\delta(k(y_i)) $
- quinid
$ 0\leq\left|\int f_n\right|=\left|\sum_i\int_{x_i}^{x_{i+1}}f_n(x)dx\right| $
ovvero
$ \left|\sum_j\sum_{k(y_i)=j}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f_n(x)dx\right| $
ma, per compattezza, c'è un numero finito di j, quindi
$ \left|\sum_{j=1}^N\sum_{k(y_i)=j}\int_{x_i}^{x_{i+1}}f_n(x)dx\right|\leq\sum_{j=1}^N\sum_{k(y_i)=j}\int_{x_i}^{x_{i+1}}|f_n(x)|dx $
scegliendo n abbastanza grande, maggioriamo la somma con
$ \sum_{j=1}^N\sum_{k(y_i)=j}\int_{x_i}^{x_{i+1}}|f_j(x)|dx\leq\sum_{j=1}^N\sum_{k(y_i)=j}|f_j(y_i)||x_i-x_{i+1}|+\epsilon_1 $
che si maggiora con
$ \epsilon(b-a)+\sum_j\epsilon_j $
che tende a 0, scegliendo opportunamente i vari epsilon.

torna?

[trugruo]

grazie per le risposte