Normale 83/2

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
Gauss91
Messaggi: 240
Iscritto il: 19 set 2009, 16:52
Località: Pisa / Milano

Normale 83/2

Messaggio da Gauss91 » 28 mag 2010, 23:00

Sia ABCD un quadrato, e sia P un punto interno ad esso tale che
$ \widehat{ABP} = \widehat{BAP} = 15° $.
Dimostrare che il triangolo PCD è equilatero.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"

trugruo
Messaggi: 192
Iscritto il: 31 ago 2009, 15:04

Messaggio da trugruo » 28 mag 2010, 23:05

Ma sbaglio o è banalissimo? mi sa che non ho capito la traccia :oops:

Gauss91
Messaggi: 240
Iscritto il: 19 set 2009, 16:52
Località: Pisa / Milano

Messaggio da Gauss91 » 28 mag 2010, 23:47

Non è difficile se è questo che intendi :wink: . In ogni caso se vuoi posta pure la soluzione!
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"

amatrix92
Messaggi: 818
Iscritto il: 21 nov 2008, 17:19
Località: Firenze

Messaggio da amatrix92 » 28 mag 2010, 23:51

Allora chiamo $ l $ il lato edl quadrato; e chiamo H e K rispettivamente i punti medi di AB e di CD.

$ PH = \frac{l}{2}\cdot sin 15 $

$ KP = l - \frac{l}{2}\cdot sin 15 $

$ KD= \frac{l}{2} $

$ DP=CP= \sqrt {( l - \frac{l}{2}\cdot sin 15)^2 + (l - \frac{l}{2}) ^ 2 } $

Svolgendo i conti mi viene che $ DP=1,00792 l $ ma credo che sia solo un errore di appossiamzione del seno e successivamente delle radici.

Edit: con al radice finale che mi ero scordato di fare $ 1,003956064 $ .... non capisco perchè, ho ricontrollato tutti i conti :?
Ultima modifica di amatrix92 il 29 mag 2010, 00:26, modificato 1 volta in totale.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

trugruo
Messaggi: 192
Iscritto il: 31 ago 2009, 15:04

Messaggio da trugruo » 29 mag 2010, 00:06

Avevo letto isoscele invece di equilatero ecco perché ;)

Pigkappa
Messaggi: 1209
Iscritto il: 24 feb 2005, 13:31
Località: Carrara, Pisa

Messaggio da Pigkappa » 29 mag 2010, 01:41

amatrix92 ha scritto: $ PH = \frac{l}{2}\cdot sin 15 $
E' la tangente e non il seno.

Comunque è una soluzione lecita, ma ovviamente durante la prova non potrai usare la calcolatrice e dovrai ricavarti la tangente di 15° a mano, e non sbagliare i conti successivi.

Zephyrus
Messaggi: 40
Iscritto il: 10 feb 2010, 14:08
Località: Vicenza

Re: Normale 83/2

Messaggio da Zephyrus » 29 mag 2010, 12:31

Premetto di non essere molto sicuro che questa dimostrazione sia giusta...
Sia P' il punto tale che DP'C risulti equilatero. Siccome $ DP'=AD $, e $ A\widehat DP'=30° $, $ D\widehat P'A=75° $
Con ragionamento analogo si trova $ B\widehat P'C=75° $, da cui $ D\widehat P'A=150° $. Inoltre, siccome il triangolo AP'D è congruente al triangolo BP'C, allora CP'D è isoscele, da cui $ P'\widehat AB=P'\widehat BD=15° $.
Supponiamo ora che il punto P sia distinto da P': questo è assurdo poichè P non starebbe allora su entrambe le rette P'A e P'B, e quindi l'angolo PAB (o PBA) risulterebbe diverso da 15°.
EDIT:Corretto un paio di lettere sbagliate...
Ultima modifica di Zephyrus il 01 giu 2010, 14:42, modificato 1 volta in totale.

amatrix92
Messaggi: 818
Iscritto il: 21 nov 2008, 17:19
Località: Firenze

Messaggio da amatrix92 » 29 mag 2010, 14:04

Pigkappa ha scritto:
amatrix92 ha scritto: $ PH = \frac{l}{2}\cdot sin 15 $
E' la tangente e non il seno.

Comunque è una soluzione lecita, ma ovviamente durante la prova non potrai usare la calcolatrice e dovrai ricavarti la tangente di 15° a mano, e non sbagliare i conti successivi.
Diamine!! è vero!! sarà stato l'orario che mi ha fatto confondere :lol:

Comunque la Tangente di 15° si ricava per sottrazione o bisezione se ci si ricorda la forumula di bisezione della tangente: $ Tg(15)= \frac {1-cos(30)}{sen(30)} $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

Gauss91
Messaggi: 240
Iscritto il: 19 set 2009, 16:52
Località: Pisa / Milano

Messaggio da Gauss91 » 30 mag 2010, 20:39

@ Zephyrus: non so se hai fatto solo errori di scrittura degli angoli e dei triangoli, ma hai detto due cose false: in realtà DP'B = 135° e non 150, inoltre il triangolo BP'D non è isoscele...

La mia soluzione è stata molto simile a quella di Amatrix, solo che mi sono giostrato un po' col teorema di Carnot al posto che con le tangenti (l'unico coseno da calcolare è cos(75) = cos(45 + 30) che si può fare a mano).
Dopo qualche conticino, viene abbastanza facilmente. Ma non so se ci sono soluzioni non trigonometriche.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"

Ranma
Messaggi: 1
Iscritto il: 31 mag 2010, 13:48

Messaggio da Ranma » 31 mag 2010, 14:14

Per il teorema di pitagora, basta dimostrare che l'altezza del triangolo CDP è uguale a L√3/2. Per verificarlo basta sottrare a L (lato del quadrato=lato triangolo) l'altezza del triangolo ABP. Quest'ultima la si ricava con L/2 tg15=L/2 (2-√3)=L-L√3/2.
Quindi Altezza CDP=L-(L-L√3/2)=L√3/2. Dite che va bene? :?:
"Follia è fare sempre la stessa cosa e aspettarsi risultati diversi".

amatrix92
Messaggi: 818
Iscritto il: 21 nov 2008, 17:19
Località: Firenze

Messaggio da amatrix92 » 31 mag 2010, 14:18

Ranma ha scritto:Per il teorema di pitagora, basta dimostrare che l'altezza del triangolo CDP è uguale a L√3/2. Per verificarlo basta sottrare a L (lato del quadrato=lato triangolo) l'altezza del triangolo ABP. Quest'ultima la si ricava con L/2 tg15=L/2 (2-√3)=L-L√3/2.
Quindi Altezza CDP=L-(L-L√3/2)=L√3/2. Dite che va bene? :?:
Direi che in sostanza è uguale alla mia soluzione solo che parti dalla fine...
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

Rispondi