formiche su un'asta

[Maioc92]

Abbiamo un'asta di spessore infinitesimo e di lunghezza 1 m. Sopra di essa vi sono 10 formiche, di dimensioni trascurabili rispetto alla sbarra, che possono muoversi lungo tutta la sua lunghezza. Le formiche hanno una velocità costante di 1 metro al minuto.
Se 2 formiche si urtano, cambiano istantaneamente direzione mantenendo costante la velocità. Se una formica arriva ad un'estremità dell'asta, cade.
Dimostrare che, qualunque siano le posizioni e le direzioni iniziali delle 10 formiche, entro 1 minuto saranno tutte cadute dall'asta

[Dani92]

Regalo ad ogni formica un chicco di grano; se dopo un minuto non ci sono più chicci di grano sull'asta evidentemente non ci sono neanche più formiche!

Decido che ogni scontro tra due formiche ognuna scambi il proprio chicco con la compagna (questo non priva in nessun istante qualche formica di chicchi). Allora ogni chicco segue un moto rettilineo uniforme veso uno dei due estremi ed ogni chicco cadrà insieme alla formica che lo porta alla fine in 1 minuto al massimo!

Caduti tutti i chicchi = cadute tutte le formiche = vinto!

[Maioc92]

bello, io non ci avevo pensato, complimenti

[dario2994]

Ora che è stato risolto questo aumentiamo la difficoltà:
Ho 10 formiche su una circonferenza di 1 metro.
Le formiche si muovono sulla circonferenza ad una velocità costante di 1cm/s.
Una formica va sempre dalla stessa parte finchè non ne incontra un'altra, in quel caso istantaneamente si gira e riparte in direzione opposta.
Ora le formiche si stanno muovendo.
Mostrare che tra 100 secondi staranno tutte al posto dove si trovano ora.
Posso essere certo che saranno rivolte anche dalla stessa parte?

[Dani92]

Le formiche e gli spazi sono distinguibili? Cioè basta mostrare che tutte le posizioni di partenza sono occupate o vuoi anche che siano occupate dalle stesse formiche che le occupavano in partenza?

[dario2994]

Non capisco di che spazi parli... comunque fai conto che c'è una formica che si chiama Alice... devi mostrare che Alice dopo 100 secondi sta dove stava all'inizio.
Oppure mostra che Alice potrebbe anche non tornare al proprio posto... ma il suo posto sarò comunque occupato.
Anzi rilancio... per quali situazioni iniziali le formiche alla fine si ritroveranno ognuna al proprio posto?
Rilancio ancora...date 2n+1 formiche inizialmente, mostrare che se tornano ognuna al proprio posto allora non c'è stata neppure una collisione

[trugruo]

Oppure mostra che Alice potrebbe anche non tornare al proprio posto... ma il suo posto sarò comunque occupato.

Basta considerare delle formiche fantasma che nella collisione si scambiano identità.

[dario2994]

Giusto ora passate al bonus:
Se le formiche sono 11 e tornano ognuna al proprio posto allora non si sono mai incontrate

[trugruo]

Numeriamo i posti di partenza.
Consideriamo sempre formiche fantasma che quindi non invertono mai il senso di rotazione camminano con un bigliettino sul quale vi è scritto il numero del posto che devono andare ad occupare dopo un giro.
Ad ogni "collisione" le formiche fantasma si scambiano il bigliettino.
Quindi se una formica A parte con un bigliettino,affinché compia un giro completo con ancora quel bigliettino,o non si è scontrata con nessuna formica,oppure :
sia X l'insieme delle formiche che girano nello stesso senso di A,e Y l'insieme di quelle che girano in senso opposto,allora chi porterà via per prima il bigliettino iniziale ad A deve appartenere a Y,che A non incontrerà più,e l'unico modo per far tornare ad A il suo bigliettino è che una formica di X rubi quel bigliettino alla formica di Y che precedentemente l'aveva preso,ma anche se fosse A non incontrerà mai una formica di X in quanto girano nello stesso senso.
Quindi l'unica cosa possibile è che non ci sia stata nessuna collisione.
Però così mi viene per qualsiasi n.
Boh del resto se le formiche sono 2 funziona comunque.

[dario2994]

L'idea è giusta... hai sbagliato qualche conto... 2 formiche che girano in versi opposti si incontrano 2 volte non 1
Concludi bene questo caso e poi passa al caso pari

p.s. sii più chiaro, ho capito cosa volevi dire solo perchè conosco la soluzione, altrimenti è cirillico

[Dani92]

Numeriamo i posti di partenza.
Consideriamo sempre formiche fantasma che quindi non invertono mai il senso di rotazione camminano con un bigliettino sul quale vi è scritto il numero del posto che devono andare ad occupare dopo un giro.
Ad ogni "collisione" le formiche fantasma si scambiano il bigliettino.
Quindi se una formica A parte con un bigliettino,affinché compia un giro completo con ancora quel bigliettino,o non si è scontrata con nessuna formica,oppure :
sia X l'insieme delle formiche che girano nello stesso senso di A,e Y l'insieme di quelle che girano in senso opposto,allora chi porterà via per prima il bigliettino iniziale ad A deve appartenere a Y,che A non incontrerà più,e l'unico modo per far tornare ad A il suo bigliettino è che una formica di X rubi quel bigliettino alla formica di Y che precedentemente l'aveva preso,ma anche se fosse A non incontrerà mai una formica di X in quanto girano nello stesso senso.
Quindi l'unica cosa possibile è che non ci sia stata nessuna collisione.
Però così mi viene per qualsiasi n.
Boh del resto se le formiche sono 2 funziona comunque.

Non ho capito... xk A non incontra più formiche di Y ?