circonferenze che si intersercano

[danielf]

Siano C1,C2 due circonferenze di raggio R, passanti ognuna per il centro dell'altra.
Calcolare l'area della regione di piano interna ad entrambe.

[io.gina93]

l'intersezione fra i 2 cerchi è composta da 2 segmenti parabolici (non ricordo se si chiamano cosi o no cmq)che hanno come base l'altezza di un triangolo equilatero di lato r moltiplicata per 2 e come altezza r/2.
Un segmento parabolico vale 2/3 del rettanfolo che lo inscrive..
Quindi l'intersezione vale (radice3)/2r * r/2 * 2/3 * 2 = (2radice3)/3 r^2

[Euler]

A me invece risulta $ \frac{R^2(4\pi-3\sqrt{3})}{6} $
Il problema non era neanche difficile, non capisco dove vai a pescare i segmenti parabolici...

[io.gina93]

bhe pensavo
http://www.robertobigoni.it/Matematica/ ... fig002.gif
che AB in questo caso fosse il segmento che collegasse le intersezioni delle circonferenze, e che cosi si formassero 2 segmenti parabolici uguali.....

invece io non capisco come tu abbia fatto a trovare quella soluzione..

[Euler]

Guardando il disegno allegato, AO$ _{1} $^B= AO$ _{2} $^B=120°.L'area del segmento circolare AO$ _{1} $B è $ \frac{R^2\pi}{3}-\frac{R^2\sqrt3}{4} $, che moltiplicato per due da questo risutato

[Spammowarrior]

come fanno ad essere dei segmenti parabolici se sono delle circonferenze

comunque si risolve sfruttando la simmetria della figura rispetto al segmento che congiunge i due punti di intersezione (senza disegno è un po' complicato da spiegare ma spero si capisca): calcoli cioè la metà dell'area richiesta, che è pari all'area di un settore circolare (una "fetta") meno il triangolo contenuto nel settore (scusatemi se sono poco formale)
l'area del settore è

$ \frac {r^2\pi \alpha}{360} $

dove alfa è l'angolo al centro del settore.
notiamo anche che l'altezza del triangolo cercato è la metà del raggio, poichè l'altezza è la metà della congiungente i centri. quindi se consideriamo i due triangoli in cui il triangolo grande viene diviso dall'altezza abbiamo che l'ipotenusa è doppia del cateto (per la proprietà appena trovata), quindi l'angolo è di 60°, e l'angolo del settore è 120°.
calcoli ora l'area del triangolo e l'area del settore, sottrai e trovi il risultato di euler.

[io.gina93]

ok, grazie per i chiarimenti!! ^^
cmq mi dispiace per l'idea dei segmenti parabolici anche perchè il mio prof di m..atematica molto b..rillante non ce l'ha spiegato, così abbiamo dovuto leggerlo noi, e sinceramente avevo capito che valesse per qualsiasi curva..

cmq devo ancora imparare come calcolare l'area del segmento circolare...
grazie per la lezione anticipata!!

[Spammowarrior]

giusto per completezza, l'area del settore circolare altro non è che una proporzione

Acerchio : 360 = Asettore : angolosettore

[io.gina93]

ah sì questa formula l'avevo letta sul mio libro (mi pare che il mio prof non l'abbia spiegato o l'abbia saltato perchè non aveva voglia di spiegarcelo come il segmento parabolico)!!
quindi potevo risolverlo bene il problema!! xD
bhe non facendo esercizi sui cerchi non mi sarebbe mai venuto in mente questa formula.. xD