7p+3^p-4=x^2

[ale.b]

Dimostrare che, se p è un numero primo, $ 7p+3^p-4 $ non è mai un quadrato perfetto

[gismondo]

utilizzando il piccolo teorema di fermat e ricordandoci dei residui quadratici modulo 3 ottengo: $ 0+3-1=0,1 $ che è assurdo; inoltre p=3 abbiamo 44.
sbaglio?

[ale.b]

perchè dovrebbe essere $ 7p\equiv0 \mod 3 $?

[ma_go]

rispetto a che modulo applichi il teorema di fermat?

[gismondo]

perchè sono scemo sorry!

[gismondo]

vediamo..allora modulo p:
$ 0+3-4=x^2 $ per il piccolo teorema di fermat...
dalla legge di reciprocità quadratica $ x^2=-1 $ ha soluzioni se e solo se p=4k+1...quindi

$ 7(4k+1)+3^{4k+1}-4=x^2 $
quindi modulo 4:$ 3(1)+3^1-0=0,1 $ che sembra assurdo
a-risbaglio?

[ale.b]

che cosa dice la legge di reciprocità quadratica?

[gismondo]

http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_reciprocity

[ma_go]

stavolta mi pare proprio che funzioni

[pic88]

Senza invocare la reciprocita' quadratica, basta ragionare sull'ordine di x modulo p quando p divide x^2+1.

La reciprocita' quadratica e' difficile da dimostrare, che io sappia.

[Gogo Livorno]

Senza invocare la reciprocita' quadratica, basta ragionare sull'ordine di x modulo p quando p divide x^2+1.

La reciprocita' quadratica e' difficile da dimostrare, che io sappia.

Tradotto in soluzione?

[pic88]

Tradotto in soluzione hai

$ x^2\equiv -1 \pmod p $

quindi l'ordine di x modulo p e' 4. Ma l'ordine divide p-1.

[Gogo Livorno]

Tradotto in soluzione hai

$ x^2\equiv -1 \pmod p $

quindi l'ordine di x modulo p e' 4. Ma l'ordine divide p-1.

Che divide p-1 lo dovrei sapere di mio o si deduce?

E da qui?



EDIT: mi sono andato un po' a cercare le proprietà dell'ordine
Ma... cosa intende gismondo quando mette 0,1 nelle congruenze?

[pic88]

Intende che fa 0, oppure 1. Ma siccome fa 2 e' assurdo.

In ogni caso si, sono le proprieta' basilari dell'ordine.

Quello che io ho mostrato e' che se p| x^2+1 allora e' della forma 4k+1. Vale anche il viceversa ma non serviva in questo esercizio.

[danielf]

Intende che fa 0, oppure 1. Ma siccome fa 2 e' assurdo.

In ogni caso si, sono le proprieta' basilari dell'ordine.

Quello che io ho mostrato e' che se p| x^2+1 allora e' della forma 4k+1. Vale anche il viceversa ma non serviva in questo esercizio.

sinceramente non ho capito..
perchè l'rodine di x dovrebbe essere 4 e perchè si cade nell'assurdo?