Relazioni non simmetriche tra coefficienti

[Tess]

In un problema di qualche anno fa (non mi ricordo dove, forse di una gara a squadre) ho trovato un problema che riporto qui in modo un po' più semplificato.
Mi basterebbe che qualcuno mi suggerisse un metodo per risolverlo.

Sia $ x^2+ax+b $ un polinomio con radici $ x_1 > x_2 $ reali, come posso calcolare una relazione non simmetrica come $ x_1^2+x_2 $ oppure $ x_1^2x_2 $?

(Mi pare che il problema utilizzasse un polinomio cubico, ma dovrebbe essere basato sullo stesso concetto)

[Spammowarrior]

uhm, usare la formula delle radici di un polinomio non aiuta?

missà che se è cubico il discorso è diverso:
puoi sempre calcolare usando le formule delle radici, ma immagino che il programma olimpico non le richieda, quindi c'è un altro modo, ora ci penso su

[karl]

Devi simmetrizzare l'espressione al seguente modo:
Poni $ \displaystyle u=x_1^2+x_2,v=x_1+x_2^2 $
Quindi avrai il sistema :
$ \displaystyle \begin{cases}u+v=(x_1+x_2)+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\uv=(x_1x_2)^2+(x_1x_2)+(x_1+x_2)^3-3(x_1x_2)(x_1+x_2)\\ \end{cases} $
Da esso ti ricavi u e v e poi ,in base alla condizione $ \displaystyle x_1>x_2 $ che nel nostro caso corrisponde
a $ \displaystyle u>v $ ,vedi qual è il valore giusto per u.In modo analogo procedi per qualunque altra espressione
(semi)simmetrica.

[Tess]

Grazie 1000 .
Ora provo a vedere se funziona con il problema originale (se riesco a trovarlo)!

[Maioc92]

in base alla condizione $ \displaystyle x_1>x_2 $ che nel nostro caso corrisponde
a $ \displaystyle u>v $

in questo per determinare il maggiore tra u e v mi pare necessaria una stima delle radici, perchè $ x_1>x_2 $ non implica $ x_1^2+x_2>x_1+x_2^2 $

[karl]

Quello che dice Maioc92 è vero ma almeno in questo caso una scelta
è sempre possibile senza ricorrere al calcolo delle radici.
Determiniamo infatti u-v :
$ \displaystyle u-v=x_1^2+x_2-x_2^2-x_1=(x_1-x_2)(x_1+x_2-1) $
Pertanto,essendo per ipotesi $ \displaystyle x_1>x_2 $,risulta che :
$ \displaystyle u>v \text{ se }x_1+x_2>1,u<v \text{ se }x_1+x_2<1,u=v \text{ se }x_1+x_2=1 $
E lo spirito del quesito resta così rispettato.
Ovviamente se non ci sono le condizioni per una scelta precisa le soluzioni
diventano due ed u può assumere l'uno o l'altro dei valori che scaturiscono
dal sistema che ho proposto.