Successioni per ricorrenza

[danielf]

dal gobbino:sia x_n la successione definita per ricorrenza da:
$ x_{n+1}=\alpha x_{n}+\beta x_{n-1} $
siano R1 e R2 le radici del polinomio :
$ x^{2}-\alpha x-\beta $
allora se R1 è diverso da R2 s ha che:
$ x_{n}=aR1^{n}+bR2^{n} $,dove le costanti a e b sono scelete imponendo alla formula di essere valida per n=0 e n=1
Se R1=R2=R si ha che:
$ x_{n}=aR^{n}+bnR^{n} $

Ma come si ricavano queste formule chiuse?

[Tibor Gallai]

http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation
https://www-old.math.gatech.edu/~ecroot ... notes2.pdf
http://olimpiadi.dm.unibo.it/downloader.php?id=41 (Fibonacci.pdf)

[Dani92]

Riporto in vita la discussione perchè non mi è chiaro un passaggio nella dimostrazione di wiki inglese, e spero che possiate spiegarmelo!

Perchè se le radici di $ r^2-Ar-B=0 $ sono uguali c'è quella n che moltiplica D? Da dove viene?

Alla fine non si può scrivere raccogliendo $ a_n= \alpha r^n $ per un certo alpha trovato?

[Dani92]

Nassuna buona anima che mi aiuti?

[ma_go]

Perchè se le radici di $ r^2-Ar-B=0 $ sono uguali c'è quella n che moltiplica D? Da dove viene?

come gia' detto da qualche altra parte, ci sono due spiegazioni, una insoddisfacente e l'altra non elementare: la prima e' "perche' funziona", come puoi verificare per induzione; la seconda viene dalla forma di jordan per matrici, e se farai matematica ti ci romperai le balle anche tu

[Dani92]

Ma è possibile utilizzarla "gratis" in gara senza incorrere nell'eterno odio dei correttori?

[ma_go]

un buon discriminante e': se compare nelle schede olimpiche, lo si puo' usare. magari di' che lo stai usando, se non e' chiaro (ad esempio, in questo caso potresti/sarebbe-molto-gradito-se/dovresti dire: "risolvendo la ricorrenza, otteniamo... dove le cose che compaiono sono le radici del polinomio caratteristico della successione ... e i coefficienti si ricavano risolvendo il sistema ...", o qualcosa di simile. insomma, che si capisca che tu hai capito come si usano questi strumenti, perlomeno).

per inciso, non ho ricordi di problemi di cesenatico in cui fosse necessario usare queste tecniche, ne' problemi in cui potesse essere davvero utile farlo. magari mi sbaglio..

[fph]

ci sono due spiegazioni, una insoddisfacente e l'altra non elementare: la prima e' "perche' funziona", come puoi verificare per induzione; la seconda viene dalla forma di jordan per matrici, e se farai matematica ti ci romperai le balle anche tu

Volendo puoi rimpiazzare la forma di Jordan con il criterio della derivata (se un polinomio p(x) ha una radice doppia in a, allora p'(a)=0), che è un po' meno non-elementare. O almeno così ma_go sta cercando di farci credere in un altro thread recente

[ma_go]

[...] con il criterio della derivata (se un polinomio p(x) ha una radice doppia in a, allora p'(a)=0), che è un po' meno non-elementare. O almeno così ma_go sta cercando di farci credere in un altro thread recente

peccato che non stia convincendo nessuno per una volta che mi salta fuori un esercizio carino e (personalmente) molto inaspettato...

[Dani92]

Bene, grazie dell'aiuto!