convergenza di una serie di funzioni curiosa

[rargh]

$ $f_{n}(x,y,z)=\dfrac{1}{n^{1+x+y|sin(zn)|}} x \in (-1,0]; y \in \mathbb{R}^{+}_{0}; z \in \mathbb{R}^{+}_{0}; $


Per quali x, y e z converge puntualmente la serie:

$ \sum_{n=1}^{n=\infty}{$f_{n}(x,y,z)} $

Su quale sottoinsieme converge uniformemente (se converge puntualmente per qualche x,y,z)?

[SkZ]

si sa che converge per $ $1+x+y|\sin{(zn)}|>1 $ ergo $ $y|\sin{(zn)}|>(-x)\geq0 $
ergo $ ~z\neq k\pi\; k\in\mathbb{N} $

[rargh]

Il fatto è che bisogna porre

$ |sin(zn)|>\dfrac{-x}{y} $

Fissati z, x e y, come fai a essere sicuro che la diseguaglianza è rispettata per tutti gli n? Esiste un sottoinsieme di N per cui la diseguaglianza non

è rispettata! Quindi il criterio di convergenza viene rispettato "a tratti". Esiste un numero infinito di interi n per cui il criterio non è rispettato.

Il problema sta nel vedere se, detta :

$ a(i) $ la successione di interi per cui la diseguaglianza non è rispettata, la serie


$ \sum_{i=1}^{i=\infty}{$f_{a(i)}(x,y,z)} $

converge.

Per $ z \ne q \pi $, dove $ q \in \mathbb{Q} $, la faccenda diventa complicata.

[SkZ]

se ben ricordo, $ ~\sin{(n)} $ e' denso in [-1;1], ergo hai infiniti punti al di fuori del intervallo
ma esistono alcune soluzioni come $ ~z=\frac{\pi}{n} $ con n>1

[rargh]

Ok, ma allora non capisco se la serie converge o diverge se ci sono infiniti punti fuori dall'intervallo.

Intuitivamente credo che anche se z è diverso da q*pigreco, questi punti fuori dall'intervallo si ripetano "quasi periodicamente", quindi la somma della sottosuccessione di fn(x) per quegli n per cui si va fuori dall'intervallo dovrebbe essere divergente...

Chiedo ancora scusa nel caso che la soluzione fosse banali e non c'arrivo ancora...

[SkZ]

penso che si possa dimostrare che $ ~\sin(xn)\quad n\in\math{N},\;x\not\in\pi\mathbb{Q} $ e' denso. da qui supporrei che non converge, ma non ne sono cosi' convintissimo (troppo tempo che non mi guardo la teoria)

[rargh]

Ok grazie!