P.S. Non so la soluzione
Triangolo
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Carlitosming
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- Iscritto il: 02 apr 2010, 10:50
Triangolo
Trovare tutti i triangoli con lati di misura intera e consecutivi la cui area ha un valore intero.
P.S. Non so la soluzione
P.S. Non so la soluzione
bhe cominciamo da 3,4,5 area 6 
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Triangolo
come al solito questa richiesta è ambigua...Carlitosming ha scritto:Trovare
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
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Carlitosming
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Sì anche a me... uso la formula di Erone (questa volta me la concedi Maioc? 
) e se non sbaglio i calcoli i lati sono tutte e sole le soluzioni della diofantea
$ 3a^4 - 12a^2 - 16A^2 = 0 $
dove A è l'area e a è il lato "di mezzo" (insomma né il max né il min).
) e se non sbaglio i calcoli i lati sono tutte e sole le soluzioni della diofantea$ 3a^4 - 12a^2 - 16A^2 = 0 $
dove A è l'area e a è il lato "di mezzo" (insomma né il max né il min).
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
esatto. Ora io, nella mia ignoranza non so se sia possibile determinare di che forma sono tutte le soluzioni, ma per dire che sono infinite basta notare che $ a=4 $ è soluzione, e che se $ a $ è soluzione allora $ a^2-2 $ è soluzioneGauss91 ha scritto:Sì anche a me... uso la formula di Erone (questa volta me la concedi Maioc?
$ 3a^4 - 12a^2 - 16A^2 = 0 $
dove A è l'area e a è il lato "di mezzo" (insomma né il max né il min).
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
vediamo se riesco a combinare qualcosa di buono...
dalla formula di erone (come ha già detto gauss91) l'area vale $ \frac{n}{4}\sqrt{3(n+2)(n-2)} $ , dove n è la lunghezza del lato intermedio.
Perchè tale espressione sia intera $ n\sqrt{3(n+2)(n-2)} $ deve essere multiplo di 4 e lo è soltanto se n è pari. poniamo quindi $ n=2k $ e, svolgendo i calcoli, l'area diventa della forma $ k\sqrt{3(k^2-1)} $.
ora, tutto ciò che si trova sotto la radice deve essere un quadrato perfetto e lo è solo se $ k^2-1=3m^2 $, con m intero generico.
le soluzioni fondamentali dell'equazione di pell sono $ k_1=2 $ e $ m_1=1 $; tutte le altre infinite soluzioni si ottengono per ricorsione dalle formule:
$ k_{i+1}=k_1k_i+3m_1m_i $
$ m_{i+1}=k_1m_i+m_1k_i $
Tutti i lati intermedi cercati sono pertanto della forma $ n_{i+1}=2k_{i+1}=2k_1k_i+6m_1m_i $ e gli altri due si ottengono ovviamente aggiungendo e togliendo 1 da questa espressione.
non c'è nulla di geometrico, però ormai c'ero...
dalla formula di erone (come ha già detto gauss91) l'area vale $ \frac{n}{4}\sqrt{3(n+2)(n-2)} $ , dove n è la lunghezza del lato intermedio.
Perchè tale espressione sia intera $ n\sqrt{3(n+2)(n-2)} $ deve essere multiplo di 4 e lo è soltanto se n è pari. poniamo quindi $ n=2k $ e, svolgendo i calcoli, l'area diventa della forma $ k\sqrt{3(k^2-1)} $.
ora, tutto ciò che si trova sotto la radice deve essere un quadrato perfetto e lo è solo se $ k^2-1=3m^2 $, con m intero generico.
le soluzioni fondamentali dell'equazione di pell sono $ k_1=2 $ e $ m_1=1 $; tutte le altre infinite soluzioni si ottengono per ricorsione dalle formule:
$ k_{i+1}=k_1k_i+3m_1m_i $
$ m_{i+1}=k_1m_i+m_1k_i $
Tutti i lati intermedi cercati sono pertanto della forma $ n_{i+1}=2k_{i+1}=2k_1k_i+6m_1m_i $ e gli altri due si ottengono ovviamente aggiungendo e togliendo 1 da questa espressione.
non c'è nulla di geometrico, però ormai c'ero...