Staffetta algebra

[jordan]

In attesa che il nostro Piever o chi altro ce la faccia nell'impresa del problema 5, aspettiamo che pak-man ne proponga uno nuovo..

Per i prossimi che proporranno problemi, dopo un tempo massimo di una settimana si è pregati di postare la soluzione, altrimenti chiunque altro che si trovi a leggere questo thread ne può postare uno nuovo.

[pak-man]

Mi avete chiamato ed eccomi qua

Sperando che non sia troppo semplice o noto:
trovare il minimo valore di $ a^2+b^2 $ sapendo che l'equazione $ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 $ ha soluzioni reali.

[amatrix92]

a e b numeri reali? Può essere $ \frac{4}{5} $ ?

[pak-man]

Non l'ho specificato ma sì, a e b sono in R

[jordan]

Soluzione problema 11. Sia definita la variabile $ t:=x+x^{-1} $. Notiamo che vale $ |t|\ge 2 $ e prende esattamente tutti i valori con modulo almeno 2. Per ipotesi abbiamo quindi che $ t^2+at+b-2 $ ha almeno una soluzione reale. Il problema è minimizzare $ a^2+b^2 $, che in un grafico in cui gli assi sono rappresentati da $ a $ e $ b $ equivale a minizzare la più piccola distanza dall'origine alla retta $ b=-at-t^2+2 $ sotto il vincolo $ |t|\ge 2 $. E in funzione di $ t $ il punto cercato sarà $ (a,b)=\left(-t(1-\frac{3}{t^2+1}),-(1-\frac{3}{t^2+1})\right) $. A questo punto basta minimizzare $ a^2+b^2=(t^2+1)(1-\frac{3}{t^2+1})^2 $. Ma entrambi i fattori sono funzioni crescenti rispetto a $ |t| $ per cui si otterrà il minimo se e solo se $ |t|=2 $, cioè $ \min\{a^2+b^2\}=(2^2+1)(1-\frac{3}{2^2+1})^2=\frac{4}{5} $. []

Ps. Spero esista una soluzione migliore..

[pak-man]

Ce n'è una molto simile: con la stessa sostituzione abbiamo che $ at+b=2-t^2 $, e per CS $ (a^2+b^2)(t^2+1)\ge(at+b)^2=(2-t^2)^2 $, ovvero $ a^2+b^2\ge\dfrac{(2-t^2)^2}{t^2+1} $, e si conclude allo stesso modo usando la monotonia.

[amatrix92]

Per quanto bruttta posto anche la mia pseudo soluzione:

Noto che l'Eq. ha soluzioni reali per a=-1 e b=0, quindi la minimizzazione di $ a^2+b^2 $, deve essere minore/uguale a 1. a Questo punto capisco che per avere una minimizzazione minore di 1, i due coefficenti a e b devono essere minori di 1 (inteso come valore assoluto). Sostituendo enll'Eq. x=1, noto che 2a+b deve essere uguale a 2, e in generale 2a+b deve essere maggiore/uguale a 2. vedo un po' di possibilità tra cui $ a= \frac{4}{5} , b= \frac {2}{5} $ (sempre in valore assoluto)per i quali valori $ a^2+b^2 =\frac{4}{5} $ e vedo che se si prova diminuendo o la a o la b senza cambiare l'altra, L'eq viene impossibile in R, mentre aumentando o la a o la b diminuando l'altra per far sì che l'Eq. rimanga con soluzioni, il valore di $ a^2+b^2 $ aumenta, arrivi quindi a dire che il minimo di $ a^2+b^2 = \frac{4}{5} $.

Lo so è oscena, però al risultato ci sono arrivato

[jordan]

Visto che pak-man ha proposto l'ultimo e io ne propongo spesso, lasciamo a amatrix92 il prossimo

[amatrix92]

Grazie Jordan .

Ve lo dico subito è abbastanza semplice come problema, o meglio, direi che è la mio livello .

Siano $ P(x), Q(x) $ e $ R (x) $ tre polinomi. Si provi che, se $ P(x^2) + xQ(x^2) = (x^2 - 4) \cdot R(x) $
allora $ P(x) $ e $ Q(x) $ sono divisibili per $ x-4 $.
Se, viceversa, due polinomi $ A(x) $ e $ B(x) $ sono divisibili per $ x-4 $, è vero che esiste un polinomio $ C(x) $ tale che $ A(x^2) + x(B)x^2) = (x^2 - 4) \cdot C(x) ? $

[Spammowarrior]

Grazie Jordan .

Ve lo dico subito è abbastanza semplice come problema, o meglio, direi che è la mio livello .

Siano $ P(x), Q(x) $ e $ R (x) $ tre polinomi. Si provi che, se $ P(x^2) + xQ(x^2) = (x^2 - 4) \cdot R(x) $
allora $ P(x) $ e $ Q(x) $ sono divisibili per $ x-4 $.
Se, viceversa, due polinomi $ A(x) $ e $ B(x) $ sono divisibili per $ x-4 $, è vero che esiste un polinomio $ C(x) $ tale che $ A(x^2) + x(B)x^2) = (x^2 - 4) \cdot C(x) ? $

dimostriamo che 4 è radice dei due polinomi.

poniamo quindi x=2:

$ p(4) + 2q(4) = 0 $

ora poniamo x=-2

$ p(4) - 2q(4) = 0 $

sommando membro a membro si ha
$ p(4) = 0 $

da cui $ q(4) = 0 $

quindi 4 è radice di p e q, quindi per ruffini il polinomio è divisibile per x-4.

seconda parte:

chiamiamo


$ A(x)=(x-4)A'(x) $
$ B(x)=(x-4)B'(x) $

sostituendo nella equazione data si ha

$ (x^2 - 4)A'(x^2) + x(x^2 - 4)B'(x^2) = (x^2 - 4)C(x) $

semplifichiamo

$ A'(x^2) + xB'(x^2) = C(x) $

e risulta quindi che il polinomio C(x) cercato debba avere le caratteristiche sopra riportate, che sono sempre possibili. di conseguenza esiste sempre.

[jordan]

Bene Spammowarrior, quando vuoi vai col 13

[Spammowarrior]

bene, il mio era facile quindi ve ne do uno facile, è uno sns mai proposto sul forum:

Costruire un polinomio p di grado minimo e con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1, tale che

$ p(0) = 0, p(1) = 1, p(-1) = 2 $

sns 1980/1981 es 4

[Haile]

Proviamo con un grado II. Chiamiamo $ ~ p(x) = x^2 + ax $. Da p(1)=1 otteniamo a=0, da p(-1)=2 invece a=-1; non va.

Grado III. Poniamo $ ~ q(x) = x^3 + ax^2 + bx $. Da q(1)=1 otteniamo a+b=0, da q(-1)=2 invece a-b = 3. Risolvendo a=3/2, b=-3/2

Allora $ ~ q(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x $

[Spammowarrior]

Proviamo con un grado II. Chiamiamo $ ~ p(x) = x^2 + ax $. Da p(1)=1 otteniamo a=0, da p(-1)=2 invece a=-1; non va.

Grado III. Poniamo $ ~ q(x) = x^3 + ax^2 + bx $. Da q(1)=1 otteniamo a+b=0, da q(-1)=2 invece a-b = 3. Risolvendo a=3/2, b=-3/2

Allora $ ~ q(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x $

perfetto (magari per zelo io avrei detto che i tre punti nel piano non sono allineati quindi grado uno non va bene)

tocca a te

[Haile]

Lascio l'onere di proporre un problema a chiunque -a differenza di me- ne abbia uno interessante da postare.