Staffetta combinatoria.

[jordan]

Iniziamo una staffetta anche qui, perchè no? come nella sezione di algebra e in quella di teoria dei numeri; proporrei di nuovo agli autori dei problemi di postare la loro soluzione qualora il problema non venisse risolto entro circa una settimana..

Problema 1.
Siano dati $ n $ dadi e si definisca $ p_{i,j} $ la probabilità che lanciando il dado $ i $ esca la faccia $ j $. Sia $ S_x $ la probabilità che, lanciando insieme tutti questi dadi, la somma delle facce sia esattamente $ x $. Mostrare che esistono due interi $ a $ e $ b $ tali che $ n \le a < b \le 6n $ e $ S_a \neq S_b $.

Note. 1) ogni dado ha 6 facce 2) I $ p_{i,j} $ sono fissati ma non è detto che siano tutti $ \frac{1}{6} $, per cui il problema non è (necessariamente) banale 3) A conferma che non è banale posso dire che proviene da una olimpiade iraniana..

[jordan]

Hint: considerare i polinomi $ \displaystyle q_i(x)=\sum_{i=1}^6{p_{i,j}x^j} $..

[jordan]

Soluzione problema 1. Poniamo che per assurdo $ S_i=S_{i+1} $ per ogni $ i \in\mathbb{Z}\cap [n,6n) $, allora $ \displaystyle f(x):=\prod_{1\le i\le n}{q_i(x)}=S_nx^n\cdot \frac{x^{5n+1}-1}{x-1} $, dove il coefficiente di $ f(x) $ di grado $ i \in \mathbb{Z}\cap [n,6n] $ risulta esattamente $ S_i $. Dato che $ S_n=S_{n+1}=\ldots=S_{6n}>0 $ allora necessariamente $ p_{1,6}>0 $. D'altra parte, dato che $ f(\cdot) $, oltre lo 0, ha tutte radici complesse di modulo 1, anche ogni $ q_i $ avrà radici complesse di modulo 1. In particolare $ p_{1,1} $ vale esattamente 1 visto che è un reale non negativo che è anche prodotti di numeri complessi con modulo unitario. Ma com'è ovvio $ \sum_{1\le j\le 6}{p_{1,j}}=1 $ per cui $ p_{1,2}=p_{1,3}=\ldots=p_{1,6}=0 $, in contraddizione con le nostre ipotesi. []

[jordan]

Vediamo se con questo andiamo meglio..
Problema 2. A una gara di matematica partecipano 25 concorrenti; vengono assegnati 4 problemi che alla fine verranno valutati 0 e 1 (non esistono punteggi parziali). Mostrare che al termine della gara almeno una delle situazioni deve verificarsi:
i) ci sono 4 concorrenti che hanno risolto esattamente gli stessi problemi.
ii) ci sono 2 concorrenti per i quali ognuno dei 4 problemi è stato risolto da esattamente uno dei due.

[cromat]

allora... ad ogni problema assegno un codice binario (0=sbagliato;1=risolto): ci sono $ 2^4 $ possibili combinazioni. Queste sono divise in 8 coppie complementari (cioè con gli 1 e gli 0 invertiti fra loro).
Ora se per assurdo la seconda condizione non fosse soddisfatta allora tutte le 25 combianzioni dei 25 concorrenti le dovrei scegliere fra al massimo 8 possibili combinazioni. (altrimenti avrei almeno una coppia complementare e la seconda sarebbe soddisfatta). A questo punto per i piccioni: ho 8 gabbie 25 piccioni(>3*8) quindi in una gabbia avrò almeno 4 piccioni: la prima condizione è soddisfatta

Scritta male come mio solito ma il ragionamento è quello giusto.

Quesito 3
Ci sono 27 cubetti uguali di spigolo 1, con faccette colorate con 6 colori
diversi. Calcolare la probabilita che, disponendoli casualmente insieme per formare un cubo piu grande di spigolo 3, il cubo così ottenuto abbia facce ognuna di un unico colore.

[amatrix92]

Calcolare la probabilita che, disponendoli casualmente insieme per formare un cubo piu grande di spigolo 3, il cubo così ottenuto abbia facce ognuna di un unico colore.

Quasi 0 ti va bene come risposta ?

Nel caso in cui la risposta sia no provo a saparare qualche presunta razzata.
Presa una faccia la probabilità che un faccina (faccia dei uno dei cubi 1X1) visibile sia colorata è 1, la probabilità che altre 8 facce siano colorate dello stesso colore della prima è $ (1/6)^8 $ e la stessa cosa immagino avrà per le altre facce, la probabilità cercata potrebbe allora essere $ \frac {1}{6} ^ {8\cdot6} $

[Euler]

Anche a me viene lo stesso risultato...
Propongo un altro problema: c'è una griglia di finestre di lato 6x5 e sappiamo che ogni riga e ogni colonna ha esattamente 2 finestre accese, mentre tutte le altre sono spente.
Bisogna trovare tutte le possibili combinazioni di finestre accese e spente.

[amatrix92]

Anche a me viene lo stesso risultato...
Propongo un altro problema: c'è una griglia di finestre di lato 6x5 e sappiamo che ogni riga e ogni colonna ha esattamente 2 finestre accese, mentre tutte le altre sono spente.
Bisogna trovare tutte le possibili combinazioni di finestre accese e spente.

Euler se il risultato è giusto (aspetto qualcuno che lo confermi perchè non ne sono totalemnte sicuro) spetta a me postare il problema successivo

[Euler]

Scusa non conoscevo queste formalità...
Allora prova a proporre tu quello delle finestre

[cromat]

in realtà quello del dado era piiù complicato... bisognava ragionare sugli spigoli del cubo e ricordarsi che i dadi erano tutti uguali (con la stessa configurazione di colori)... però passiamo oltre...

su quelle delle finestre ho un dubbio di fondo: se è 6x5e ogni riga e colonna hanno esatttamente 2 finestre accese, se conto le finestre accese totali secondo le righe vengono 10 e secondo le colonne 12-> com'è possibile???

[amatrix92]

in realtà quello del dado era piiù complicato... bisognava ragionare sugli spigoli del cubo e ricordarsi che i dadi erano tutti uguali (con la stessa configurazione di colori)... però passiamo oltre...

su quelle delle finestre ho un dubbio di fondo: se è 6x5e ogni riga e colonna hanno esatttamente 2 finestre accese, se conto le finestre accese totali secondo le righe vengono 10 e secondo le colonne 12-> com'è possibile???

il dubbio su quello edlle finistre lo avevo anche .. forse voleva scrivere 5X5 .. comunque non passiamo oltre, perchè lo stesso dubbio sugli spigoli era venuto anche ame ma non sapevo come "risolverlo", se qualcuno più capace sa spiegarmelo ne sarei grato.

[cromat]

dai ancora un po di tempo per quello del dado...poi stasera posto la soluzione!!!

[Euler]

Scusate la cavolata che ho detto, intendevo che ogni riga e colonna ha o 2 o 0 finestre accese.

[Euler]

Per quanto riguarda quello del dado, potrebbe essere (1/6)^8*(1/6)^6*(1/6)^4*(1/6)^4*(1/6)^2*(1/6)=(1/6)^25?

[gian92]

per quello del cubo:

allora ragioniamo sulle possibili rotazioni nello spazio dei cubetti piccoli, sono 24 (fissando una faccia a "terra" possiamo fare 4 rotazioni e questo con tutte le facce).

bene una faccia di quello grande avrà il cubetto centrale che avrà un solo colore vincolato e quindi 4 rotazioni possibili, i 4 adiacenti a quello centrale con 2 colori vincolati e quindi 2 rotazioni possibili e i 4 angoli che potranno avere una sola posizione visto che hanno 3 colori vincolati).
quindi la probabilità di avere una faccia che possa essere di un cubo come quello richiesto è di:
$ \frac{4}{24}\cdot\frac{2}{24}^4\cdot\frac{1}{24}^4 $
bene il quadrato di questo numero sarà la probabilità di avere questa faccia e quella opposta (il cui colore lo potremo scegliere in 5 modi quindi il quadrato di questo numero per 6X5)
restano i 9 cubetti centrali, bene quello al centro non ci da problemi, lo possiamo prendere come vogliamo.
quelli laterali sugli spigoli li possiamo scegliere in 2 modi (hanno due colori fissati) mentre quelli al centro li possiamo scegliere in 4 modi (1 colore fissato)
mi sembra un po strano come risultato ma a me verrebbe:

$ (\frac{4}{24}\cdot\frac{2}{24}^4\cdot\frac{1}{24}^4)^2\cdot \frac{4}{24}^4\cdot\frac{2}{24}^4 $ moltiplicato per i modi di scegliere i colori che sono 6! e per le rotazioni del cubo grande (?) che sono 24.

p.s. non sono certo ma forse l'approccio giusto è questo...