Polinomi.
Polinomi.
Per ogni $ \displaystyle n \in \mathbb{N} $ e per ogni $ \displaystyle x \in [0,1] $, sia $ \displaystyle T_n(x) = cos(n \cdot cos^{-1}(x)) $. Dimostrare che le funzioni $ \displaystyle T_n $ sono tutte polinomi.
Stima della difficoltà: Cesenatico facile o SNS facile. Che i campioni non ci si avventino subito...
Stima della difficoltà: Cesenatico facile o SNS facile. Che i campioni non ci si avventino subito...
E invece è proprio un polinomio! Strano ma vero... Comunque questi strani coseni e arcocoseni sono già stati visti qui. Attenzione: nel link è presente una soluzione, non leggere fino in fondo se si vuole affrontare il problema!
Ti faccio notare il tuo errore perché in questo caso è veramente "basilare". Tu stesso hai detto che l'arcocoseno è l'inversa del coseno. Be', ma allora $ T_1(x)=\cos(\arccos(x)) = x $ per definizione di funzione inversa, e direi che è una funzione molto polinomiale!quindi ci verrà il coseno di un angolo che essendo trascendente non può essere una funzione polinomiale
Ultima modifica di Ani-sama il 07 mar 2010, 01:30, modificato 1 volta in totale.
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hai ragione, troppo tardi per affrontare problemiAni-sama ha scritto:E invece è proprio un polinomio! Strano ma vero... Comunque questi strani coseni e arcocoseni sono già stati visti qui. Attenzione: nel link è presente una soluzione, non leggere fino in fondo se si vuole affrontare il problema!
Ti faccio notare il tuo errore perché in questo caso è veramente "basilare". Tu stesso hai detto che l'arcocoseno è l'inversa del coseno. Be', ma allora $ T_1(x)=\cos(\arccos(x)) = x $ per definizione di funzione inversa, e direi che è una funzione molto polinomiale!quindi ci verrà il coseno di un angolo che essendo trascendente non può essere una funzione polinomiale
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Re: Polinomi.
Assolutamente cannata, come stima.Pigkappa ha scritto:Stima della difficoltà: Cesenatico facile
A Cesenatico è proibito presentare problemi con funzioni trigonometriche.
Al massimo può essere un PreIMO facile.
Sul discorso del polinomio/non polinomio, credo che molti degli equivoci scaturiscano dal fatto che Pigkappa sembra non fare alcuna distinzione tra polinomio e funzione polinomiale.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
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Re: Polinomi.
Basta mostrare che cos(ny) e sen(ny) è un'espressione polinomiale in cos(y) la prima e del tipo sen(y)X(polinomio in cos(y)) la seconda. Per n=1, 2 segue dalle formule trigonometriche, segue per induzione.
Quindi il gioco è fatto essendo cos(arcos(x))=x, con y= arcos(x) .
Quindi il gioco è fatto essendo cos(arcos(x))=x, con y= arcos(x) .
Direi che i $ T_n(x) $ sono molto particolari
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Aggiungerei anche che questo è un buon esercizio per usare i numeri complessi.Zok ha scritto:Chi è che si fa un pò di conti e trova una formula ricorsiva elegante?!?
Nessun liceale ha voglia di cimentarsi in un pò di trigonometria e induzione?!? Dai su!
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