Da una discussione serale rumena

[Anér]

Dato un insieme infinito $ A $, e ricordandosi dell'assioma della scelta:
1) Dimostrare che esiste un gruppo su $ \mathcal{P}(A) $
2) Dimostrare che esiste un gruppo su $ A $
3) Dimostrare che esiste un campo su $ A $

Buon $ lavoro^3 $

[pic88]

Faccio il primo, che non richiede AC: basta prendere come operazione la differenza simmetrica, che e' associativa ed ha il vuoto come identita'; in piu' ogni elemento ha ordine 2.
(Si puo' anche fare un anello su P(A) mettendo l'intersezione come moltiplicazione)

Il secondo e' simile, nel senso che la differenza simmetrica e' un'operazione interna a $ P_{fin}(A) $, che contiene i sottoinsiemi finiti di A (ed e' in corrispondenza biunivoca con A per AC).

[Tibor Gallai]

Ma cosa si può / non si può usare?
Perché detto così è un banale corollario dei soliti teoremi di teoria dei modelli.

[Nonno Bassotto]

In effetti se uno sa un po' di logica è banale. Però può essere carino vederlo a mano. Paradossalmente, il più facile mi sembra il 3), che ovviamente implica gli altri due.

[Anér]

Sarà banale per voi che avete studiato già i cannoni con cui distruggerlo, ma partendo da quanto ne può sapere un liceale come me o gli altri utenti del forum non mi sembra così ovvio; dipende tutto da quanto soliti sono i soliti teoremi di teoria dei modelli; fatto sta che quella sera abbiamo risolto solo il primo punto con la stessa idea di pic88. Bella anche l'idea del secondo punto perché dà un'idea di come sia fatto il gruppo, io ero riuscito solo a dimostrare che esisteva. In definitiva mi sembra poco utile commentare "è banale", piuttosto sarebbe meglio suggerire una traccia di soluzione il più semplice e comprensibile possibile.

[Nonno Bassotto]

Caro Anér, non volevo affermare che il problema fosse banale. Ho detto che lo è per chi conosce i teoremi di Lowenheim-Skolem, ma anzi ho ribattuto che può essere carino per chi non li conosce.

Quanto sia difficile dipende molto dalle vostre conoscenze: io in quinta liceo non sapevo nemmeno cosa fosse un gruppo o un campo. In ogni caso ripeto che con le conoscenze diciamo di un primo corso di algebra, in cui si vedono questi concetti, il più facile mi sembra il 3). E d'altra parte il 3) implica banalmente gli altri due. In qualche modo è come se il 3) fosse un suggerimento: "invece di cercare un gruppo, che ha poca struttura, dimostra la cosa più forte che esiste un campo".

Insomma, il punto del mio commento era il contrario di "è banale". Intendevo che poteva essere invece carino farlo a mano. Per quanto riguarda dare suggerimenti, lo farei se il problema fosse ad un punto morto, ma visto che c'era già qualche idea in giro non ne ho visto il bisogno.

[EvaristeG]

Un'alternativa per il punto 2)
a) Se A è numerabile, siamo a posto.
b) Considerate l'insieme A'={ n_1a_1+...+n_ka_k, per ogni k naturale, per ogni k-upla di el di A (a_1,...,a_k) distinti, per ogni k-upla di interi non nulli}u{0} ... riuscite a metterci una struttura di gruppo?
c) ed ora?
E questo sistema anche l'1.

[Nonno Bassotto]

Il tuo hint è molto simile alla mia idea per il 3), che è ancora più semplice.

[Anér]

Per quanto riguarda l'espressione "È banale", mi riferivo soprattutto a Tibor; in effetti tu, Nonno Bassotto, sei stato più diplomatico e gentile.
Per quanto riguarda il suggerimento di EvaristeG, puoi esplicitarlo un po' di più? Perché per ora mi ha fatto venire in mente solo una variante più contorta dell'idea di pic88.

[EvaristeG]

Dato un qualunque insieme A, se è numerabile, è in bigezione con i razionali e dunque ha una struttura di gruppo.
Dato un qualunque insieme A più che numerabile, l'insieme delle espressioni
$ [tex] $n_1a_1+\ldots+n_ka_k$ [tex] $ al variare di k naturale positivo, di $ a_1,\ldots, a_k \in A $ distinti e di $ n_1,\ldots, n_k\in\mathbb{Z} $ non nulli è un insieme che ha la stessa cardinalità di A: per ogni parte finita di A, considero le parti di $ \mathbb{Z}\setminus\{0\} $ con la stessa cardinalità, che sono numerabili, quindi meno di A.
A questo insieme unisco lo 0. Ora le regole di somma sono ovvie:
$ na+ma=(n+m)a $
$ na-na=0 $
$ na+0=na $
il che rende questo insieme un gruppo commutativo.
(gruppo delle somme formali finite a coefficienti interi in A).

Per il prodotto ... beh, bisogna capire come associare a due elementi di A un elemento di A, no?

[Tibor Gallai]

Per quanto riguarda l'espressione "È banale", mi riferivo soprattutto a Tibor; in effetti tu, Nonno Bassotto, sei stato più diplomatico e gentile.

Se lo poni in MNE, non c'è a priori un limite alla teoria che si può usare. Per questo ho constatato che il problema è un banale corollario di teoremi ben noti, e di conseguenza ho domandato quali cose si potessero usare. Domanda a cui, peraltro, fra lo sputar sentenze a destra e a sinistra, non hai nemmeno risposto in modo chiaro (un liceale non sa cos'è un gruppo o un campo, e tantomeno cos'è l'assioma della scelta!).

[Nonno Bassotto]

Comunque posto il mio hint per il 3)

Basta prendere un'opportuna estensione dei razionali. Se sappiamo la cardinalità del campo, quanto deve essere il grado di trascendenza?

[Anér]

@ Tibor: è consentito usare qualsiasi strumento purché permetta al primo olimpionico che passa di capirci qualcosa, se non addirittura farsi una buona idea; dunque sono da preferirsi soluzioni più elementari possibili; l'assioma della scelta può essere usato con le sue più immediate conseguenze; per la mia soluzione bastano:
-Lemma di Zorn (sempre utile): Sia dato un ordinamento parziale su A, ossia un ordinamento in cui due elementi possono essere uno maggiore dell'altro, uguali oppure inconfrontabili, ma tale che se x>y,y>z allora x>z; chiamiamo catena un sottoinsieme di A i cui elementi sono a due a due confrontabili; supponiamo che per ogni catena esiste un elemento maggiorante, ossia maggiore o uguale a tutti gli elementi della catena stessa; allora esiste un elemento di A che maggiore o inconfrontabile con tutti gli altri, ma non minore, che si guadagna il titolo di massimale.
-Dati due insiemi A e B infiniti, il loro prodotto cartesiano ha la stessa cardinalità del maggiore per cardinalità tra A e B.
-Dati due insiemi si possono sempre confrontare le loro cardinalità.
Ora non metto in dubbio che esistano teoremi che in un colpo solo bruciano questo problema, e neanche dico che siano teoremi tenuti rigorosamente segreti da una setta di matematici e noti solo a pochi iniziati; tuttavia oso dire che:
-almeno su questo forum non li ho mai visti, a differenza di gruppi e assiomi della scelta che seppur raramente passano; questo non toglie che funzionino, ma ridimensiona fortemente il significato dell'aggettivo "noti";
-questo problema può essere un corollario di tali teoremoni, ma non è stato pensato per allenare chi passa per il forum a riconoscere di quale teorema è il banale corollario, e ammetterai che non è bello sentirsi dire che è banale dopo aver impiegato un bel po' di tempo per risolverlo;
-tantomeno è utile dire che è banale, piuttosto è meglio, se si è in dubbio su quale strada percorrere, cercare una soluzione semplice.

@EvaristeG: c'è un modo almeno parzialmente costruttivo per definire il prodotto o bisogna far vedere che esiste?

@Nonno Bassotto: Credo che manchi un punto interrogativo, comunque mi viene da rispondere che ogni base di trascendenza del nuovo campo esteso su Q è infinita, di cardinalità del nuovo campo, e dunque anche il grado di trascendenza è infinito.

[EvaristeG]

Beh, esattamente come hai aggiunto tutte le somme, aggiungi tutti i prodotti, tutti gli inversi e tutti i prodotti degli inversi, cambia i coefficienti da interi a razionali. Visto che così comunque prendi le parti finite delle parti finite del tuo insieme per {1,-1} per Q, ottieni qualcosa che ha cardinalità pari all'insieme.

Ed ora posso dirti anche che è lo stesso suggerimento di Nonno Bassotto, solo che il mio è in versione muratore, il suo in versione architetto.

[Nonno Bassotto]

@Nonno Bassotto: Credo che manchi un punto interrogativo, comunque mi viene da rispondere che ogni base di trascendenza del nuovo campo esteso su Q è infinita, di cardinalità del nuovo campo, e dunque anche il grado di trascendenza è infinito.

Boh, non mi sembra che manchi nessun punto interrogativo. Il grado di trascendenza deve essere infinito, ok, ma infinito quanto? Stiamo parlando di cardinalità, no?