4. Siano a; b; c le misure dei lati di un triangolo. Sapendo che a+b+c = 1,
dimostrare che $ a^2 + b^2 + c^2 + 4abc \leq 1/2 $
Ho provato così:
per prima cosa essendo lati di un triangolo ho $ a, b , c \leq 1/2 $
Ora usando la scomposizione di un trinomio riscrivo l'Eq. così: $ (a+b+c)^2 -2ab-2ac-2bc \leq 1/2 $
ora sostitisco 1 ad $ a+b+c, $ e lavoro un po' sulla disequazione ottenendo: $ 8abc - 4ab - 4ac- 4 bc \leq -1 $
8abc (su questo passaggio non sono sicuro) deve esseere $ \leq 8/27 $ perchè il prodotto maggiore che posso avere da tre numeri di somma k è $ (k/3)^3 $. Quindi sommo, raccolgo un 4, lo porto sotto cambio tutti i segni e trovo $ ab+ac+bc \geq 35/108 $ e ora, apparte il fatto che non mi riesce andare avanti ... ma l'ultima Eq. è falsa , basti provare con i numeri $ \\a=0,2 \\b=0,4 \\c=0,4. $
qualcuno sa dirmi dov'è il mio (sicuramente grossolano) errore?
Cesenatico 1990
Cesenatico 1990
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
se per far venire fuori quella roba hai sommato 8/27 allora è per quello che non funziona..perchè quando è massimo 8abc gli altri valori sono fissati, non puoi decidere tu i valori che possono assumere(come invece fai ponendo per esempio a=0,2..)...Comunque se non vado errato si puo risolvere ponendo a=1/2-x; b=1/2-y; z=x+y e tenendo conto che x+y<=1/2..e svolgendo i contazzi..a suo tempo lo avevo rosolto così, o con un metodo simile..amatrix92 ha scritto:Quindi sommo, raccolgo un 4, lo porto sotto cambio tutti i segni e trovo $ ab+ac+bc \geq 35/108 $
Ci sono due errori che si possono fare lungo la via verso la verità...non andare fino in fondo, e non iniziare.
Confucio
Confucio
Esempio di soluzione priva di idee:
Omogenizzo e moltiplico per 2.
$ $2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+8abc\le (a+b+c)^3 $
Svolgo una caracca di conti ottenendo:
$ $ a^3+b^3+c^3+2abc\le a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2 $
Porto tutto dallo stesso lato e fattorizzo:
$ $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\ge 0 $
Che è vera poichè sono lati di un triangolo.
Svolgo anche la soluzione di Reginald.
Sostituzione classica:
$ $a=x+y $
$ $b=y+z $
$ $c=z+x $
Ma sfruttando l'ipotesi $ $a+b+c=1 $ è equivalente a:
$ $a=\frac 1 2 -z $
$ $b=\frac 1 2 -x $
$ $c=\frac 1 2 -y $
Svolgo pochissimi conti ottenendo:
$ $ \frac 3 4 +x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\le 2x+2y+2z+4xyz $
Sfruttando $ $x+y+z=\frac 1 2 $ e raccogliendo il quadrato in LHS ottengo:
$ \frac 3 4+\frac 1 4\le 1+4xyz $
che è abbondantemente vera.
Tra l'altro da entrambe le soluzioni risulta che il caso di uguaglianza non è mai realizzato.
Omogenizzo e moltiplico per 2.
$ $2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+8abc\le (a+b+c)^3 $
Svolgo una caracca di conti ottenendo:
$ $ a^3+b^3+c^3+2abc\le a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2 $
Porto tutto dallo stesso lato e fattorizzo:
$ $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\ge 0 $
Che è vera poichè sono lati di un triangolo.
Svolgo anche la soluzione di Reginald.
Sostituzione classica:
$ $a=x+y $
$ $b=y+z $
$ $c=z+x $
Ma sfruttando l'ipotesi $ $a+b+c=1 $ è equivalente a:
$ $a=\frac 1 2 -z $
$ $b=\frac 1 2 -x $
$ $c=\frac 1 2 -y $
Svolgo pochissimi conti ottenendo:
$ $ \frac 3 4 +x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\le 2x+2y+2z+4xyz $
Sfruttando $ $x+y+z=\frac 1 2 $ e raccogliendo il quadrato in LHS ottengo:
$ \frac 3 4+\frac 1 4\le 1+4xyz $
che è abbondantemente vera.
Tra l'altro da entrambe le soluzioni risulta che il caso di uguaglianza non è mai realizzato.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
-
- Messaggi: 99
- Iscritto il: 14 gen 2010, 14:56
- Località: Livorno
Si, si dice omogenizzare e cioè rendere dello stesso grado tutti i monomi ;) Serve per togliersi dalle palle l'ipotesi aggiuntiva a+b+c=1Gogo Livorno ha scritto:fammi un attimo capire: dopo aver moltiplicato per 2, a sinistra moltiplichi per a+b+c, a destra per (a+b+c)^3, perchè tanto a+b+c =1?dario2994 ha scritto:Omogenizzo e moltiplico per 2.
$ $2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+8abc\le (a+b+c)^3 $
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
-
- Messaggi: 99
- Iscritto il: 14 gen 2010, 14:56
- Località: Livorno