Cesenatico 1990

[amatrix92]

4. Siano a; b; c le misure dei lati di un triangolo. Sapendo che a+b+c = 1,
dimostrare che $ a^2 + b^2 + c^2 + 4abc \leq 1/2 $

Ho provato così:
per prima cosa essendo lati di un triangolo ho $ a, b , c \leq 1/2 $
Ora usando la scomposizione di un trinomio riscrivo l'Eq. così: $ (a+b+c)^2 -2ab-2ac-2bc \leq 1/2 $
ora sostitisco 1 ad $ a+b+c, $ e lavoro un po' sulla disequazione ottenendo: $ 8abc - 4ab - 4ac- 4 bc \leq -1 $
8abc (su questo passaggio non sono sicuro) deve esseere $ \leq 8/27 $ perchè il prodotto maggiore che posso avere da tre numeri di somma k è $ (k/3)^3 $. Quindi sommo, raccolgo un 4, lo porto sotto cambio tutti i segni e trovo $ ab+ac+bc \geq 35/108 $ e ora, apparte il fatto che non mi riesce andare avanti ... ma l'ultima Eq. è falsa , basti provare con i numeri $ \\a=0,2 \\b=0,4 \\c=0,4. $
qualcuno sa dirmi dov'è il mio (sicuramente grossolano) errore?

[Reginald]

Quindi sommo, raccolgo un 4, lo porto sotto cambio tutti i segni e trovo $ ab+ac+bc \geq 35/108 $

se per far venire fuori quella roba hai sommato 8/27 allora è per quello che non funziona..perchè quando è massimo 8abc gli altri valori sono fissati, non puoi decidere tu i valori che possono assumere(come invece fai ponendo per esempio a=0,2..)...Comunque se non vado errato si puo risolvere ponendo a=1/2-x; b=1/2-y; z=x+y e tenendo conto che x+y<=1/2..e svolgendo i contazzi..a suo tempo lo avevo rosolto così, o con un metodo simile..

[dario2994]

Esempio di soluzione priva di idee:
Omogenizzo e moltiplico per 2.
$ $2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+8abc\le (a+b+c)^3 $
Svolgo una caracca di conti ottenendo:
$ $ a^3+b^3+c^3+2abc\le a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2 $
Porto tutto dallo stesso lato e fattorizzo:
$ $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\ge 0 $
Che è vera poichè sono lati di un triangolo.

Svolgo anche la soluzione di Reginald.
Sostituzione classica:
$ $a=x+y $
$ $b=y+z $
$ $c=z+x $
Ma sfruttando l'ipotesi $ $a+b+c=1 $ è equivalente a:
$ $a=\frac 1 2 -z $
$ $b=\frac 1 2 -x $
$ $c=\frac 1 2 -y $
Svolgo pochissimi conti ottenendo:
$ $ \frac 3 4 +x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\le 2x+2y+2z+4xyz $
Sfruttando $ $x+y+z=\frac 1 2 $ e raccogliendo il quadrato in LHS ottengo:
$ \frac 3 4+\frac 1 4\le 1+4xyz $
che è abbondantemente vera.

Tra l'altro da entrambe le soluzioni risulta che il caso di uguaglianza non è mai realizzato.

[Gogo Livorno]

Omogenizzo e moltiplico per 2.
$ $2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+8abc\le (a+b+c)^3 $

fammi un attimo capire: dopo aver moltiplicato per 2, a sinistra moltiplichi per a+b+c, a destra per (a+b+c)^3, perchè tanto a+b+c =1?

[dario2994]

Omogenizzo e moltiplico per 2.
$ $2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+8abc\le (a+b+c)^3 $

fammi un attimo capire: dopo aver moltiplicato per 2, a sinistra moltiplichi per a+b+c, a destra per (a+b+c)^3, perchè tanto a+b+c =1?

Si, si dice omogenizzare e cioè rendere dello stesso grado tutti i monomi ;) Serve per togliersi dalle palle l'ipotesi aggiuntiva a+b+c=1

[Gogo Livorno]

premesso che ho visto come in effetti ti si semplifica bene, ma in generale ogni volta che si omogenizza si assume un'ipotesi aggiuntiva nella nostra equazione rendendo possibile la fattorizzazione/risoluzione?