Calze
Calze
Questo problema viene dalla gara a squadre di Torino del pubblico del 2004.
In un cassetto sono mischiate insieme calze rosse e blu. Tirandone fuori due a caso, la probabilità che siano entrambe rosse è $ \displaystyle\frac{1}{2} $, mentre la probabilità che siano tutte e due blu è $ \displaystyle \frac{1}{12} $. Quante calze ci sono nel cassetto?
In un cassetto sono mischiate insieme calze rosse e blu. Tirandone fuori due a caso, la probabilità che siano entrambe rosse è $ \displaystyle\frac{1}{2} $, mentre la probabilità che siano tutte e due blu è $ \displaystyle \frac{1}{12} $. Quante calze ci sono nel cassetto?
Ultima modifica di Sonner il 06 mar 2010, 21:09, modificato 1 volta in totale.
io ho provato a risolverlo ma le soluzioni che vengono fuori sono sbagliate...ma si avvicinano molto a quelle giuste credo...non so perchè siano sbagliate, magari se trovate l'errore...
allora, chiamiamo R il numero dialze rosse e B quello delle blu.
abbiamo che:
$ \frac{R}{R+B}\cdot \frac{R-1}{R+B-1}=\frac{1}{2} $
e
$ \frac{B}{R+B}\cdot \frac{B-1}{R+B-1}=\frac{1}{12} $
quindi sottraendo la seconda dalla prima abbiamo:
$ \frac{R^2-R-B^2+B}{R^2+2BR+B^2-R-B}=\frac{5}{12} $
$ 12R^2-12R-12B^2+12B=5R^2+10BR+5B^2-5B-5R $
e quindi
$ 7R^2-17B^2-10BR+17B-7R=0\\ 7R^2-(10B+7)R-17(B^2-B)=0 $
risolviamo in R
$ R=\frac{10B+7 \pm \sqrt{576B^2-336B+49}}{14}=\frac{10B+7\pm (24B-7)}{14} $
se prendiamo $ B=7 $ R sarà 17.
La soluzione dovrebbe essere quindi 24.
cosa sbaglio?
grazie mille!
allora, chiamiamo R il numero dialze rosse e B quello delle blu.
abbiamo che:
$ \frac{R}{R+B}\cdot \frac{R-1}{R+B-1}=\frac{1}{2} $
e
$ \frac{B}{R+B}\cdot \frac{B-1}{R+B-1}=\frac{1}{12} $
quindi sottraendo la seconda dalla prima abbiamo:
$ \frac{R^2-R-B^2+B}{R^2+2BR+B^2-R-B}=\frac{5}{12} $
$ 12R^2-12R-12B^2+12B=5R^2+10BR+5B^2-5B-5R $
e quindi
$ 7R^2-17B^2-10BR+17B-7R=0\\ 7R^2-(10B+7)R-17(B^2-B)=0 $
risolviamo in R
$ R=\frac{10B+7 \pm \sqrt{576B^2-336B+49}}{14}=\frac{10B+7\pm (24B-7)}{14} $
se prendiamo $ B=7 $ R sarà 17.
La soluzione dovrebbe essere quindi 24.
cosa sbaglio?
grazie mille!
ohi pure io ho avuto dei problemi con i calcoli... nella tua i procedimenti sono giusti però se vai a mettere i valori che hai trovato nella prima vedi che non torna...
io invece che per sottrazione avevo fatto per confronto e viene:
$ R* {(R-1)} = 6B* {(B-1)} $
ma pure qui poi c'era qualcosa di strano...
P.s. siete omaggiati del mio primo utilizzo di Latex
io invece che per sottrazione avevo fatto per confronto e viene:
$ R* {(R-1)} = 6B* {(B-1)} $
ma pure qui poi c'era qualcosa di strano...
P.s. siete omaggiati del mio primo utilizzo di Latex
si infatti è per questo che da qualche parte ci deve essere l'errore..non torna...cromat ha scritto:ohi pure io ho avuto dei problemi con i calcoli... nella tua i procedimenti sono giusti però se vai a mettere i valori che hai trovato nella prima vedi che non torna...
io invece che per sottrazione avevo fatto per confronto e viene:
$ R* {(R-1)} = 6B* {(B-1)} $
ma pure qui poi c'era qualcosa di strano...
P.s. siete omaggiati del mio primo utilizzo di Latex
comunque il tuo errore secondo me non sta in calcoli,ma nella logica,inftti quella che tu ricavi è una condizione necessaria ma non sufficiente.
è un po' come risolvere questo sistema
x+2y=0
x-y=0
sommiamo
2x+y=0
ora siccome per x=3 y=-6 l'ultima è soddisfatta allora 2,-6 è una soluzione del sistema che invece è falso
infatti 2x+y=0 è solo condizione necessaria,ma non è sufficiente
spero di non aver detto sciocchezze
è un po' come risolvere questo sistema
x+2y=0
x-y=0
sommiamo
2x+y=0
ora siccome per x=3 y=-6 l'ultima è soddisfatta allora 2,-6 è una soluzione del sistema che invece è falso
infatti 2x+y=0 è solo condizione necessaria,ma non è sufficiente
spero di non aver detto sciocchezze
hai ragione, grazie milletrugruo ha scritto:comunque il tuo errore secondo me non sta in calcoli,ma nella logica,inftti quella che tu ricavi è una condizione necessaria ma non sufficiente.
è un po' come risolvere questo sistema
x+2y=0
x-y=0
sommiamo
2x+y=0
ora siccome per x=3 y=-6 l'ultima è soddisfatta allora 2,-6 è una soluzione del sistema che invece è falso
infatti 2x+y=0 è solo condizione necessaria,ma non è sufficiente
spero di non aver detto sciocchezze
tu per trovare la soluzione sei passato sempre per il sistema?
sfruttando l'hint di trugruo abbiamo:
$ \frac{RB}{R^2+2RB+B^2-R-B}=\frac{5}{24}\\ 5R^2-(14B+5)R+5B^2-5B=0\\ R=\frac{14B+5\pm\sqrt{96B^2+240B+25}}{10} $
quindi dobbiamo vedere quando il determinante è un quadrato perfetto
$ 96B^2+240B+25=100B^2+100B+25-4B^2+140B=\\ =(10B+5)^2-4(B^2-35B) $
è evidente che quindi si tratta di un quadrato perfetto se $ -4(B^2-35B)=0 $ condizione soddisfatta per $ B=35 $
di conseguenza il determinante sarà $ 355^2 $ e quindi
$ R=\frac{14\cdot 35+5 \pm 355}{10}= 85 $
ricapitolando quindi:
$ R=85,B=35 $
$ \frac{RB}{R^2+2RB+B^2-R-B}=\frac{5}{24}\\ 5R^2-(14B+5)R+5B^2-5B=0\\ R=\frac{14B+5\pm\sqrt{96B^2+240B+25}}{10} $
quindi dobbiamo vedere quando il determinante è un quadrato perfetto
$ 96B^2+240B+25=100B^2+100B+25-4B^2+140B=\\ =(10B+5)^2-4(B^2-35B) $
è evidente che quindi si tratta di un quadrato perfetto se $ -4(B^2-35B)=0 $ condizione soddisfatta per $ B=35 $
di conseguenza il determinante sarà $ 355^2 $ e quindi
$ R=\frac{14\cdot 35+5 \pm 355}{10}= 85 $
ricapitolando quindi:
$ R=85,B=35 $
oppure cosi
pongo
$ k=\left( r+b \right)\left( r+b-1 \right) $
poi sapevamo che
$ \frac{r\left( r-1 \right)}{k}=\frac{1}{2} $
e
$ \frac{b\left( b-1 \right)}{k}=\frac{1}{12} $
ma grazie all'hint abbiamo che
$ \frac{2rb}{k}=\frac{5}{12} $
da cui
$ k=\frac{24rb}{5} $
che sostituendo nel sistema iniziale ci fa ottenere il nuovo sistema :
$ 5(r-1)=12b $
e
$ 5(b-1)=2r $
che risolto ci dà la soluzione
pongo
$ k=\left( r+b \right)\left( r+b-1 \right) $
poi sapevamo che
$ \frac{r\left( r-1 \right)}{k}=\frac{1}{2} $
e
$ \frac{b\left( b-1 \right)}{k}=\frac{1}{12} $
ma grazie all'hint abbiamo che
$ \frac{2rb}{k}=\frac{5}{12} $
da cui
$ k=\frac{24rb}{5} $
che sostituendo nel sistema iniziale ci fa ottenere il nuovo sistema :
$ 5(r-1)=12b $
e
$ 5(b-1)=2r $
che risolto ci dà la soluzione
Ultima modifica di trugruo il 07 mar 2010, 14:02, modificato 1 volta in totale.