(a^3)+3(a^2)+a=x^2

[gibo92]

dimostrare che nessun numero dalla forma (a^3)+3(a^2)+a con a intero positivo, è un quadrato perfetto.

è un vecchio cesenatico, io lo ho risolto con una disuguaglianza dopo un'ora ke tentavo di tutto... e volevo sapere se c'è anke una soluzione ke utilizza solo idee standard ecc (o comunque nn disuguaglianze da inventarsi)

[ndp15]

Spero tu non l'abbia risolto partendo dal testo che hai riportato
Correggo io: dimostrare che nessun numero della forma $ a^3+3a^2+a $, con $ \displaystyle a $ intero positivo, è un quadrato perfetto.

[gibo92]

hai ragione... ho corretto ora.

[gismondo]

raccolgo a, i fattori sono coprimi, quindi devono essere entrambi quadrati perfetti, ma non lo sono...
sbaglio?

[ndp15]

raccolgo a, i fattori sono coprimi, quindi devono essere entrambi quadrati perfetti, ma non lo sono...
sbaglio?

Direi di no. Scrivila per bene che è ok!
E giusto per non perdere punti banalmente, ricordiamo che i fattori sono coprimi tranne per..

[ale.b]

a me era venuto in mente di fattorizzarla così:
$ (x+a)(x-a)=a(a+1)^2 $

[emarmotto]

Abbiamo che:

$ (a^2+3a+1)a=a^3+3a^2+a $

Ma se deve essere un quadrato perfetto occorre che:

$ a^2+3a+1=a $

Si ricava che le soluzioni possibili intere non esistono essendo :

$ a^2+2a+1=0 $

[ndp15]

Ma se deve essere un quadrato perfetto occorre che:

$ a^2+3a+1=a $

Falso.
Se ti dicessi ad esempio 8*2=16=4^2 ti renderesti conto dell'errore?

[Giuseppe R]

$ a^3+3a^2+a=a(a^2+3a+1)=k^2 $

Ma $ gcd(a^2+3a+1,a)=gcd(a^2+3a+1-a(a+3),a)=gcd(1,a)=1 $ quindi sia $ a $ che $ a^2+3a+1 $ sono quadrati perfetti, ma questo è impossibile perchè $ (a+1)^2<a^2+3a+1<(a+2)^2 $ quindi è un quadrato perfetto sse uno dei 2 fattori è 0, quindi:
1) $ a=0 $, non accettabile perchè a non è intero positivo
2) $ a^2+3a+1 $=0, non accettabile perchè a non è intero positivo

Sono sicuro che c'è l'errore però, mi sembra facile...

[emarmotto]

Ma se deve essere un quadrato perfetto occorre che:

$ a^2+3a+1=a $

Falso.
Se ti dicessi ad esempio 8*2=16=4^2 ti renderesti conto dell'errore?

Sorry.....!!!!

[ndp15]

Sono sicuro che c'è l'errore però, mi sembra facile...

No dovrebbe essere cosi
Se ci si abitua troppo al livello delirante di Jordan & Co. ormai i Cesenatico sembrano fuffa

[ale.b]

$ lcm(a^2+3a+1,a)=lcm(a^2+3a+1-a(a+3),a)=lcm(1,a)=1 $

chi ha voglia di spiegare ad un ottuso questi tre passaggi?

[ndp15]

$ lcm(a^2+3a+1,a)=lcm(a^2+3a+1-a(a+3),a)=lcm(1,a)=1 $

chi ha voglia di spiegare ad un ottuso questi tre passaggi?

lcm corrisponde all'italiano minimo comune multiplo. In quei passaggi si mostra che $ a^2+3a+1 $ e $ \displaystyle a $ sono coprimi, sfruttando il fatto che se $ lcm(m,n)=1 $ allora $ lcm(m+kn,n)=1 $ per $ k $ intero qualsiasi.

[ale.b]

ma scusate, per poter dire che sono coprimi non bisognerebbe guardare piuttosto il GCD?

[gian92]

provo a dare un'altra soluzione anche se è probabilmente sbagliata.

$ (a^2+3a+a)\cdot a = k^2 $
ma quindi o i due fattori sono uguali e come abbiamo visto è impossibile, oppure imposto il sistema con $ x,y,k,a \in \mathbb{N} $
$ \begin{cases} a^2+3a+1=x \\ a=ky \\ k=xy \end{cases} $
a questo punto ottengo con un po di sostituzioni che
$ x^2y^4+3xy^2+1=x\\ x(xy^4+3y^2-1)=-1 $
ma quindi uno dei due fattori deve essere negativo
ma x non lo è perchè x è naturale, lo deve essere l'altro quindi:
$ xy^4+3y^2 < 1 $ impossibile se x,y sono naturali.

sarò sbagliata ma almeno capisco perchè e ho fatto esercizio col latex