Sulla somma di lcm(1,2,...,n)^{-1}
Sulla somma di lcm(1,2,...,n)^{-1}
Mostrare che $ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\text{lcm}(1,2,...,n)} $ converge a un numero irrazionale.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Bello!
La somma converge in quanto $ \displaystyle~1\le\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\text{lcm}(1,2,...,n)}\le 1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{\text{lcm}(n-1,n)} $$ \displaystyle~=1+\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(n-1)n}=1+\sum_{n=2}^\infty\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=2 $.
Chiamiamo ora $ \displaystyle~q_i $ l'i-esimo primo e supponiamo ora per assurdo che la somma sia pari a $ \displaystyle~\frac{a}{b},~a,b\in\mathbb{N}_0 $. Consideriamo il più piccolo $ \displaystyle~x $ tale che $ \displaystyle~q_x>b $. Allora
$ \displaystyle~\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\text{lcm}(1,2,...,n)}=\sum_{n=1}^{q_x-1}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)}+\sum_{n=q_x}^{\infty}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)} $
Essendo il primo membro intero per ipotesi di assurdo e la prima somma a secondo membro intera, pure la seconda somma lo deve essere, ma
$ \displaystyle~\sum_{n=q_x}^{\infty}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)}=\sum_{i=x}^\infty\sum_{n=q_i}^{q_{i+1}-1}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)} $$ \displaystyle~<\sum_{i=x}^\infty\sum_{n=q_i}^{q_{i+1}-1}\frac{1}{q_xq_{x+1}\cdots q_i}\le\sum_{i=x}^\infty\frac{q_i-1}{q_x\cdots q_i} $ (il minore stretto si può giustificare dicendo che c'è almeno una potenza di 2 tra $ \displaystyle~q_i $ e $ \displaystyle~q_{i+1} $), assurdo perché $ \displaystyle~\sum_{i=x}^\infty\frac{q_i-1}{q_x\cdots q_i}=\sum_{i=x}^\infty\left(\frac{1}{q_x\cdots q_{i-1}}-\frac{1}{q_x\cdots q_i}\right) $ è una somma telescopica che vale 1.
Chiamiamo ora $ \displaystyle~q_i $ l'i-esimo primo e supponiamo ora per assurdo che la somma sia pari a $ \displaystyle~\frac{a}{b},~a,b\in\mathbb{N}_0 $. Consideriamo il più piccolo $ \displaystyle~x $ tale che $ \displaystyle~q_x>b $. Allora
$ \displaystyle~\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\text{lcm}(1,2,...,n)}=\sum_{n=1}^{q_x-1}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)}+\sum_{n=q_x}^{\infty}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)} $
Essendo il primo membro intero per ipotesi di assurdo e la prima somma a secondo membro intera, pure la seconda somma lo deve essere, ma
$ \displaystyle~\sum_{n=q_x}^{\infty}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)}=\sum_{i=x}^\infty\sum_{n=q_i}^{q_{i+1}-1}\frac{\text{lcm}(1,2,...,q_x-1)}{\text{lcm}(1,2,...,n)} $$ \displaystyle~<\sum_{i=x}^\infty\sum_{n=q_i}^{q_{i+1}-1}\frac{1}{q_xq_{x+1}\cdots q_i}\le\sum_{i=x}^\infty\frac{q_i-1}{q_x\cdots q_i} $ (il minore stretto si può giustificare dicendo che c'è almeno una potenza di 2 tra $ \displaystyle~q_i $ e $ \displaystyle~q_{i+1} $), assurdo perché $ \displaystyle~\sum_{i=x}^\infty\frac{q_i-1}{q_x\cdots q_i}=\sum_{i=x}^\infty\left(\frac{1}{q_x\cdots q_{i-1}}-\frac{1}{q_x\cdots q_i}\right) $ è una somma telescopica che vale 1.
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
