Vedi anche qui teoremi 3,4,5.
Staffetta tdn
Ops...
Rimedio alla pirlata piazzandone uno facile facile
Esiste una sequenza di $ $a_i $ naturali crescente $ $t.c.\ \ \forall\ \ k\in\mathbb{Z} $ il valore $ $ a_i+k $ è primo solo per un numero finito di i?
Preso dal (fantastico) libro "104 Number Theory problems".
Rimedio alla pirlata piazzandone uno facile facile
Esiste una sequenza di $ $a_i $ naturali crescente $ $t.c.\ \ \forall\ \ k\in\mathbb{Z} $ il valore $ $ a_i+k $ è primo solo per un numero finito di i?
Preso dal (fantastico) libro "104 Number Theory problems".
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Si per numero finito si intende anche lo 0.
No la sequenza da te postata non soddisfa ;)
Non scrivo il motivo così almeno il problema resiste almeno altre 2 ore xD
No la sequenza da te postata non soddisfa ;)
Non scrivo il motivo così almeno il problema resiste almeno altre 2 ore xD
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Potrebbe andare bene... dimostralo (si è facilissimo, ma almeno dopo averne postato uno palesemente impossbile recupero postandone uno quasi banale xD)
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Aaaah adesso l'ho capita! C'è l'infame $ k = 1 $ 
.
Riprovo.
Sia $ p_n = 2, 3, 5, 7, ... $ la successione dei primi. Ponendo $ a_i =i + \displaystyle\prod_{n=1}^i p_n $, la successione del testo diventa $ \displaystyle\prod_{n=1}^i p_n + i + k $.
Ora, è $ p_i > 2i + 1 $ per $ i > 6 $, e $ 2i+1 > k+1 $ per $ i+1 > k $. Ciò significa che, da $ i+1 $ in poi, e se $ k<6 $ da $ i=7 $ in poi, sarà sicuramente $ k+i < p_i $, quindi i primi della fattorizzazione di $ k+i $ saranno sicuramente contenuti in $ \displaystyle\prod_{n=1}^i p_n $, quindi $ \displaystyle\prod_{n=1}^i p_n + k + i = a_i + k $ sarà composto.
Così va meglio?
Non è bella come quella di Maioc, ma io sono più scarso! ahah
.Riprovo.
Sia $ p_n = 2, 3, 5, 7, ... $ la successione dei primi. Ponendo $ a_i =i + \displaystyle\prod_{n=1}^i p_n $, la successione del testo diventa $ \displaystyle\prod_{n=1}^i p_n + i + k $.
Ora, è $ p_i > 2i + 1 $ per $ i > 6 $, e $ 2i+1 > k+1 $ per $ i+1 > k $. Ciò significa che, da $ i+1 $ in poi, e se $ k<6 $ da $ i=7 $ in poi, sarà sicuramente $ k+i < p_i $, quindi i primi della fattorizzazione di $ k+i $ saranno sicuramente contenuti in $ \displaystyle\prod_{n=1}^i p_n $, quindi $ \displaystyle\prod_{n=1}^i p_n + k + i = a_i + k $ sarà composto.
Così va meglio?
Non è bella come quella di Maioc, ma io sono più scarso! ahah
Ultima modifica di Gauss91 il 15 dic 2009, 18:30, modificato 4 volte in totale.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
la difficoltà dipende anche dalle idee che ti vengono...io guardando il problema ho subito pensato al fatto che esistono intervalli tra primi grandi a piacere, però non è detto che sia cosi immediato.
Comunque dimostro che la successione funziona:
fissato k considero $ a_{2|k|+4}=(2|k|+4)!+|k|+2 $. Per ogni $ i\ge 2|k|+4 $ si ha che $ a_i+k $ non è primo (basta considerare il fatto che $ n!+k $ non è primo se $ 2\le k\le n $). Quindi le soluzione sono da cercare nei primi $ 2|k|+3 $ termini della successione e pertanto sono in numero limitato, il che dovrebbe chiudere la questione se non ho sbagliato nulla
EDIT:lol, 2 soluzioni in contemporanea
Comunque dimostro che la successione funziona:
fissato k considero $ a_{2|k|+4}=(2|k|+4)!+|k|+2 $. Per ogni $ i\ge 2|k|+4 $ si ha che $ a_i+k $ non è primo (basta considerare il fatto che $ n!+k $ non è primo se $ 2\le k\le n $). Quindi le soluzione sono da cercare nei primi $ 2|k|+3 $ termini della successione e pertanto sono in numero limitato, il che dovrebbe chiudere la questione se non ho sbagliato nulla
EDIT:lol, 2 soluzioni in contemporanea
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Sono entrambe giuste... ma Gauss stai attento perchè gli indici delle produttorie sono tutti toppati :|
Non so a chi passare la palla, Maioc ha dato per primo la soluzione dando (giustamente) per scontata la dimostrazione... invece Gauss ha messo per primo la dimostrazione... decidete voi. Insomma il primo dei 2 che ha un problema carino e ben più tosto del mio si senta in diritto di postarlo ;)
p.s. Esisteva anche la più elegante
$ $a_n=(n!)^3 $
Non so a chi passare la palla, Maioc ha dato per primo la soluzione dando (giustamente) per scontata la dimostrazione... invece Gauss ha messo per primo la dimostrazione... decidete voi. Insomma il primo dei 2 che ha un problema carino e ben più tosto del mio si senta in diritto di postarlo ;)
p.s. Esisteva anche la più elegante
$ $a_n=(n!)^3 $
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Ops! Corretto tutto.
Bene mi arrogo il diritto di presentare un nuovo problema, che ho visto su mathlinks (chi si è fatto un giro da quelle parti e lo sa è pregato di non "fregare"! ). Spero che Maioc non si offenda! 
Dimostrare che $ x^2+y^2+z^2 = (x-y)(y-z)(z-x) $ ha infinite soluzioni intere.
Bene mi arrogo il diritto di presentare un nuovo problema, che ho visto su mathlinks (chi si è fatto un giro da quelle parti e lo sa è pregato di non "fregare"!
). Spero che Maioc non si offenda! Dimostrare che $ x^2+y^2+z^2 = (x-y)(y-z)(z-x) $ ha infinite soluzioni intere.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Problema 50. Mostrare che l'equazione $ x^2+y^2+z^2=(x-y)(y-z)(z-x) $ ammette infinte soluzioni in $ \mathbb{Z}^3 $.
Per una eventuale soluzione vedi qui.
Problema 51. Trovare tutti gli $ (a,b)\in\mathbb{Z}^2 $ tali che $ 2a^4+a^2b^2+2a^2-14ab+2a^3b+113=(a^2+8)^3 $.
Soluzione. Trattandola come una quadratica in $ b $ abbiamo bisogno che il suo discriminante sia un quadrato perfetto, i.e. $ 4a^2(a^2+8)^2(a^2+7)=c^2 $ per qualche $ c\in \mathbb{Z} $, i.e. $ a^2+7=d^2 $ per qualche $ d\in \mathbb{Z} $ che ha soluzione evidentemente solo per $ |a|=3 $. []
Problema 52. Trovare tutti gli $ (a,b)\in \mathbb{Z}^2 $ tali che $ a^2=ab+b^2+b+5 $.
Per una eventuale soluzione vedi qui.
Problema 51. Trovare tutti gli $ (a,b)\in\mathbb{Z}^2 $ tali che $ 2a^4+a^2b^2+2a^2-14ab+2a^3b+113=(a^2+8)^3 $.
Soluzione. Trattandola come una quadratica in $ b $ abbiamo bisogno che il suo discriminante sia un quadrato perfetto, i.e. $ 4a^2(a^2+8)^2(a^2+7)=c^2 $ per qualche $ c\in \mathbb{Z} $, i.e. $ a^2+7=d^2 $ per qualche $ d\in \mathbb{Z} $ che ha soluzione evidentemente solo per $ |a|=3 $. []
Problema 52. Trovare tutti gli $ (a,b)\in \mathbb{Z}^2 $ tali che $ a^2=ab+b^2+b+5 $.
The only goal of science is the honor of the human spirit.