Celebri somme infinite

[spugna]

In un libro che ho a casa c'è scritto che con la formula di Taylor si possono dimostrare identità come queste:

$ \sin x=\displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N}}{\left( (-1)^i \dfrac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} \right)} $

$ \cos x=\displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N}}{\left( (-1)^i \dfrac{x^{2i}}{(2i)!} \right)} $

Qualcuno mi spiega come ci si arriva?

[Tibor Gallai]

In MNE.

[SkZ]

quella deriva da
$ $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} $
e
$ $e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} $

che intendi per "formula di Taylor"?

[Gatto]

Penso intenda lo sviluppo di maclaurin... $ \displaystyle F(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n} $ (chiaramente per le funzioni "buone") da cui volendo seguono direttamente gli sviluppi di seno e coseno, senza passare necessariamente dall'esponenziale e dai complessi...

[SkZ]

per i piu' pignoli "funzione buona"$ $=\in C^\infty $

[fph]

per i piu' pignoli "funzione buona"$ $=\in C^\infty $

veramente non basta: $ e^{1/x^2} $ è un esempio classico...

[Tibor Gallai]

Eh già, quando vidi quella funzione, per la prima volta mi sentii veramente triste e sconsolato davanti a un controesempio.

[rargh]

E invece

$ $f(x)=exp\left(\dfrac{1}{(1+x)^{2}}\right) $ è sviluppabile secondo Taylor in $ \mathbb{R}^{+} $ ?

Possiamo semplicemente sostituire $ \dfrac{1}{(1+x)^{2}} $ nello sviluppo di $ e^{x} $?

[SkZ]

no, perche' nello sviluppo di taylor abbiamo lo sviluppo in un polinomio

A occhio direi che dovrebbe essere sviluppabile dato che e' continua e limitata e mi pare pure le sue derivate

il buon Brasca mi ricorda che $ $(1+x)^a $ e' sviluppabile per $ ~|x|<1 $