Allarme per r massimi o minimi consecutivi in s sorgenti

[rargh]

Siano $ x_{i,t} $ s variabili casuali, identicamente distribuite tra di loro e nel tempo, distribuite in modo continuo (ad esempio gaussiano), indipendenti tra di loro e nel tempo.

Abbiamo un allarme al tempo t appena almeno una delle s variabili è stata r volte consecutive il massimo tra le s o il minimo tra le s.

Definendo $ P(t,r) $ la probabilità che esattamente al tempo t si abbia un allarme dovuto a r massimi (o r minimi) consecutivi, definiamo "Average Run Length" o ARL il tempo medio prima di un allarme, cioè

$ ARL(r)=\sum_{t=1}^{\infty}{tP(t,r)} $

Dimostrare che:

$ ARL(r)=\frac{s^{r}-1}{s-1} $

[Tibor Gallai]

Winner.

[Nonno Bassotto]

Caro rargh, ti consiglio di dare un'occhiata ai consigli su dove mettere i messaggi.

Questo forum è dedicato alle olimpiadi di matematica, e le domande che coinvolgono matematica più avanzata sono destinate (al massimo) alla sezione Matematica non elementare.

Buona Navigazione

[rargh]

La probabilità che uno di questi sia un massimo tra gli s al tempo t è 1/s, si deduce dal fatto che la variabile è continua e quindi la probabilità che due valori siano uguali è infinitesima. Idem per la probabilità che sia un minmo. Dato questo credo che il problema si possa risolvere con metodi puramente elementari, senza analisi. Mi spiace, ma proprio per questo motivo pensavo che il problema fosse elementare e potesse stare in questa sezione.

[Nonno Bassotto]

Capisco. Però temo che anche la sola formulazione (variabili casuali, distribuzione gaussiana) non sia accessibile con strumenti di liceo.