Numeri algebrici

[Fabio91]

Sia $ a $ un numero algebrico di ordine n e sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti razionali di grado $ n $ tale che $ p(a)=0 $.
Siano ora $ x_2, x_3, ... , x_n $ le altre radici di $ p(x) $: dimostrare che se $ q(x) $ è un qualsiasi polinomio a coefficienti razionali tale che $ q(a)=0 $ allora vale anche $ q(x_i)=0 $ per ogni $ i=2,3,...,n $

Non so quanto sia in realtà un fatto noto o meno, ma lo spunto che mi ha portato fino qui è stato puramente "olimpico" e dunque se qualcuno sapesse darmi una dimostrazione il più olimpica possibile sarebbe ottimo! Se no qualsiasi altra andrà bene lo stesso

[fph]

Hmm... come definisci numero algebrico "di ordine n"? Perché se è quella che ho in mente io segue senza troppa difficoltà dalla definizione.

[Fabio91]

Premetto che non è molto tempo che mi muovo tra numeri algebrici e cose correlate, comunque io intendevo che $ a $ è uno zero di un polinomio a coefficienti razionali di grado $ n $ ma di nessun polinomio a coefficienti razionali di grado minore.

Comunque sì, il problema è semplice, ma l'enunciato è di per sé carino, dai! (e potenzialmente utile, si spera )
O era un modo elegante per dire che era meglio se lo postavo in algebra?

[FrancescoVeneziano]

Giusto una precisazione: quello che hai chiamato "ordine" di un numero algebrico è universalmente noto come "grado".

[Fabio91]

uh, non sapevo, grazie mille della precisazione!

[ghilu]

$ q(x) = A(x)p(x)+ B(x) $. , ovviamente e necessariamente in $ Q\left[ x \right] $.

Se $ B(x) $ non è zero, allora $ B(a)=0 $.
Ma :$ deg B(x) \leq n-1 $.
Contraddizione.

[giggiotb]

Non capisco..perché $ q(x)=A(x)p(x) + B(x) $? e perché il grado di $ B(x) $ è minore o uguale a $ n - 1 $?

[ghilu]

Praticamente sto facendo la divisione euclidea di polinomi a coefficienti razionali.

B(x) è il resto della divisione, pertanto ha grado minore del dividendo.