BMO 2000

[Reginald]

Ho trovato questo e mi è sembrato carino...mi pare non sia ancora stato postato...

Trovare tutte le funzioni da R in R tali che
$ f(xf(x)+f(y))=f^2(x)+y $

[Veluca]

$ f^2(x) $ è $ f(f(x)) $ o il quadrato di f(x)?

[Reginald]

io ho inteso il quadrato di f(x)...

[Maioc92]

$ x=0 $ e trovo che $ f(f(y))=y+f^2(0) $, da cui f bigettiva.

$ x=k $ tale che $ f(k)=0 $ e trovo $ f(f(y))=y $, da cui si ricava anche che $ f(0)=0 $, ma non è importante.

$ x\rightarrow f(x) $ e trovo che $ f(xf(x)+y)=(f(f(x)))^2+y=x^2+y $

Metto a confronto con l'ipotesi e ho che $ f^2(x)+y=x^2+y $, cioè $ f(x)=x $ o $ f(x)=-x $.

Ora per escludere le funzioni miste suppongo per assurdo che esistano a,b diversi da 0 tali che $ f(a)=a $ e $ f(b)=-b $. Pongo $ x=a $ e $ y=-b $ nell'equzione iniziale, faccio qualche calcolo e trovo un assurdo.
Quindi le uniche 2 soluzioni sono
$ f(x)=x $
$ f(x)=-x $
Si verifica che entrambe soddisfano

[Reginald]

$ x=0 $ e trovo che $ f(f(y))=y+f^2(0) $, da cui f bigettiva.

$ x=k $ tale che $ f(k)=0 $ e trovo $ f(f(y))=y $, da cui si ricava anche che $ f(0)=0 $.

altrimenti arrivati qui si poteva dire
$ f(f(y))=y $(1) e $ f(xf(x)+f(0))=f(xf(x))=f^2(x) $(2).
Sommando la (1) e la (2) si ha $ f(f(y))+f(xf(x))=y+f^2(x)=f(xf(x)+f(y)) $.
Se chiamo xf(x)=X e f(y)=Y ho l'equazione di cauchy(infatti la funzione è bigettiva). Ora è subito fatto per dimostrare $ \lambda =+-1 $ basta metterlo nella (1)..

[Maioc92]

si ma tu non sai che xf(x) è suriettiva...per poter porre xf(x)=X dovresti sapere che xf(x) è suriettiva, ma questo è falso....

[Gauss91]

$ x\rightarrow f(x) $ e trovo che $ f(xf(x) + y) = (f(f(x)))^2 + y = x^2 + y $

Spieghi ad un analfabeta di funzionali cosa hai fatto qui?

[pak-man]

Nell'equazione iniziale al posto di x pone f(x) e sfrutta il fatto che f(f(x))=x