formule per una equazione di quarto grado

[scifo]

Ciao amici

Su un librettino della Giusti ho trovato delle formule risolutive di un'equazione di quarto grado, belle simmetriche, che però mi sembrano sbagliate ...

(per la potenza, ili prodotto e la radice quadrata uso i simboli ^ * sqr )

Sul librettino c'è scritto, che data l'equazione quartica

y^4 + p*y^2 + q*y + r = 0 ,

se z1, z2, z3 sono le radici dell'equazione cubica risolvente

z^3 + (p/2)*z^2 + [(p^2-4*r)/16]*z - (q^2/64) = 0

allora le radici della quartica sono :

per q>0 :
y1 = -sqr(z1) - sqr(z2) - sqr(z3)
y2 = -sqr(z1) + sqr(z2) + sqr(z3)
y3 = +sqr(z1) - sqr(z2) + sqr(z3)
y4 = +sqr(z1) + sqr(z2) - sqr(z3)
e per q<0 :
y1 = +sqr(z1)+sqr(z2) + sqr(z3)
y2 = +sqr(z1) - sqr(z2) - sqr(z3)
y3 = -sqr(z1)+sqr(z2) - sqr(z3)
y4 = -sqr(z1) - sqr(z2) + sqr(z3)

Ma applicando le formule ad una quartica con p = 18 , q = 24 , r = 85
si ha
z1 = -1 , sqr(z1) = i (+ -)
z2 = -9 , sqr(z2) = 3i (+ -)
z3 = 1 , sqr(z3) =1 (+ -)

e quindi
y1 = 1 - 4i
y2 = 3 + 2i
y3 = 3 - 2i
y4 = 1 + 4i

mentre le radici giuste sono:

y1 = 1 - 2i
y2 = 3 + 4i
y3 = 3 - 4i
y4 = 1 + 2i

come è facile verificare...

Quali sono le formule, belle simmetriche, giuste?

[ghilu]

Sbaglio o sostituendo nelle tue formule, scegliendo tutte le combinazioni di segni, le y possono essere:
$ \frac{_+}{}1\frac{_+}{}2i $ oppure
$ \frac{_+}{}1\frac{_+}{}4i $ ?

[karl]

ghilu ha ragione ma occorre aggiungere la condizione che
$ \displaystyle \sqrt{z_1}\sqrt{ z_2}\sqrt{z_3}=-\frac{q}{8}=-3 $
Pertanto le uniche combinazioni possibili sono:
$ \displaystyle [1,-i,-3i],[1,i,3i],[-1,i.-3i],[-1,-i,3i] $
a cui corrispondono le radici:
$ \displaystyle y_1=1-4i,y_2=\bar{y_1}=1+4i,y_3=-1-2i,y_4=\bar{y_3}=-1+2i $
Le altre due serie di soluzioni sono errate.Basta osservare che
la somme delle radici,così date, in entrambi i casi vale 8 mentre
deve essere 0 dato che nell'equazione "quartica" di partenza
manca il termine in $ \displaystyle y^3 $

[scifo]

Grazie Ghilu e Kart per i vostri importanti chiarimenti...

Quindi, se ho capito bene, le formule della Giusti devono essere corrette
scambiando quelle relative a q > 0 con quelle relative a q < 0 .


Ma queste formule corrette valgono solo per l'esempio che ho dato,
o valgono per una qualsiasi quartica generica ?


Potete ancora aiutarmi ?

[karl]

Le formule valgono solo per le equazioni di 4° grado mancanti
del termine di 3° in x,ovvero del tipo:
$ \displaystyle y^4+py^2+qy+r=0 $
A questa forma si può comunque ricondurre qualsiasi equazione (algebrica)
del tipo :
$ \displaystyle a_ox^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0 $
Basterà dividere il tutto per $ \displaystyle a_o $, con che l'equazione diventa:
$ \displaystyle x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 $
E finalmente porre in questa $ \displaystyle x=y-\frac{a}{4} $
Tale trasformazione fa sparire il termine di 3° grado.

[scifo]

Ho provato la formula per vari casi di quartiche e sembra che funzioni...
Molte grazie a Kurt e Ghilu!