Dato un poligono P convesso di n lati sia Q il poligono convesso che ha vertici nei punti medi dei lati di P. Si trovino per ogni n fissato le migliori costanti x e y tali che
$ $x\le\frac{\text{area} P}{\text{area} Q}\le y $
Punti medi...
Punti medi...
Ci sono due errori che si possono fare lungo la via verso la verità...non andare fino in fondo, e non iniziare.
Confucio
Confucio
A occhio x=y...
ma potrei benissimo sbagliarmi, non ho intenzione di verificare a quest'ora.
Comunque scrivendo i lati come vettori a somma 0
l'area dovrebbe essere qualcosa di quasi simmetrico (o forse proprio simmetrico.. lascio al lettore la verifica) con prodotti scalari a due a due.
E la formula per quello interno sarà qualcosa di abbastanza confrontabile con l'altro.
Se non si trovasse x=y... si "dovrebbe" (spero) comunque avere un qualcosa passibile di disuguaglianza (tipo riarrangiamento).
ma potrei benissimo sbagliarmi, non ho intenzione di verificare a quest'ora.
Comunque scrivendo i lati come vettori a somma 0
l'area dovrebbe essere qualcosa di quasi simmetrico (o forse proprio simmetrico.. lascio al lettore la verifica) con prodotti scalari a due a due.
E la formula per quello interno sarà qualcosa di abbastanza confrontabile con l'altro.
Se non si trovasse x=y... si "dovrebbe" (spero) comunque avere un qualcosa passibile di disuguaglianza (tipo riarrangiamento).
Non si smette mai di imparare.
Allora... per n=3 x=y=4 a meno di errori.
Per n=4 ho dimostrato x=y=2.
Per n>5 ho dimostrato x=1.
Per il triangolo la dimostrazione mi pare ovvia perchè il triangolo dei punti medi è simile a quello originale ma in rapporto 1/2 quindi l'area è in rapporto 1/4.
Per il quadrilatero basta un affinità che fa "quasi coincidere 2" vertici. Ci si ritrova con i rapporti tra le aree non cambiate ed un triangolo in cui l'areaQ è palesemente 1/2 dell'area di P... da cui deriva la tesi.
Per esagono o più lati basta suddividere portare sempre più vicini i primi 2 vertici, stessa cosa per i secondi 2, per i terzi 2 anche, poi quelli che rimangono si avvicinano sempre più (rimanendo un poligono convesso) ai primi 2. Così i punti medi coincideranno sempre più con i vertici e di conseguenza le aree si avvicineranno sempre più ad 1. Ovviamente non si può scendere più di 1 perchè perchè vorrebbe dire che l'areaQ sarebbe maggiore dell'areaP quindi non potrebbe essere tutta interna da cui la figura P non dovrebbe essere convessa.
Quindi ora mancano a rapporto le "y" e le x nel caso n=5.
Per n=4 ho dimostrato x=y=2.
Per n>5 ho dimostrato x=1.
Per il triangolo la dimostrazione mi pare ovvia perchè il triangolo dei punti medi è simile a quello originale ma in rapporto 1/2 quindi l'area è in rapporto 1/4.
Per il quadrilatero basta un affinità che fa "quasi coincidere 2" vertici. Ci si ritrova con i rapporti tra le aree non cambiate ed un triangolo in cui l'areaQ è palesemente 1/2 dell'area di P... da cui deriva la tesi.
Per esagono o più lati basta suddividere portare sempre più vicini i primi 2 vertici, stessa cosa per i secondi 2, per i terzi 2 anche, poi quelli che rimangono si avvicinano sempre più (rimanendo un poligono convesso) ai primi 2. Così i punti medi coincideranno sempre più con i vertici e di conseguenza le aree si avvicineranno sempre più ad 1. Ovviamente non si può scendere più di 1 perchè perchè vorrebbe dire che l'areaQ sarebbe maggiore dell'areaP quindi non potrebbe essere tutta interna da cui la figura P non dovrebbe essere convessa.
Quindi ora mancano a rapporto le "y" e le x nel caso n=5.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Perdona la mia immensa stoltezza, ma non capisco questo pezzo...dario2994 ha scritto:Per esagono o più lati basta suddividere portare sempre più vicini i primi 2 vertici, stessa cosa per i secondi 2, per i terzi 2 anche, poi quelli che rimangono si avvicinano sempre più (rimanendo un poligono convesso) ai primi 2. Così i punti medi coincideranno sempre più con i vertici e di conseguenza le aree si avvicineranno sempre più ad 1
..Ci sono due errori che si possono fare lungo la via verso la verità...non andare fino in fondo, e non iniziare.
Confucio
Confucio
La perdono.
Comunque quel pezzo non lo capisci perchè è scritto male xD
Praticamente voglio dimostrare che posso portare Area Q sempre più uguale ad Area P senza che l'area P vada a 0. Da questo deriva la tesi.
Come faccio per fare questo?
Faccio si che vertici e punti medi tendano ad avvicinarsi. Piazzo un piano cartesiano. Numero i vertici da 1 ad n (n>5).
Pongo 1 in (0,0);
Pongo 2 in (1,0);
Pongo 3 in (1,x);
Pongo 4 in (0,1)
Pongo 5 in (-x,1)
Pongo z con z>5 in $ (-zx,z^2x^2) $
Quando x si avvicina a 0 (dai positivi verso lo 0) questa figura è convessa e va a formare una specie di triangolo con i vertici in (0,0); (1,0); (0,1) in cui le aree coincidono.
p.s. sarebbe la stessa cosa delle 2 righe che hai quotato ;)
È piuttosto intuitiva e mal scritta ma spero sia giusta e si capisca.
Comunque quel pezzo non lo capisci perchè è scritto male xD
Praticamente voglio dimostrare che posso portare Area Q sempre più uguale ad Area P senza che l'area P vada a 0. Da questo deriva la tesi.
Come faccio per fare questo?
Faccio si che vertici e punti medi tendano ad avvicinarsi. Piazzo un piano cartesiano. Numero i vertici da 1 ad n (n>5).
Pongo 1 in (0,0);
Pongo 2 in (1,0);
Pongo 3 in (1,x);
Pongo 4 in (0,1)
Pongo 5 in (-x,1)
Pongo z con z>5 in $ (-zx,z^2x^2) $
Quando x si avvicina a 0 (dai positivi verso lo 0) questa figura è convessa e va a formare una specie di triangolo con i vertici in (0,0); (1,0); (0,1) in cui le aree coincidono.
p.s. sarebbe la stessa cosa delle 2 righe che hai quotato ;)
È piuttosto intuitiva e mal scritta ma spero sia giusta e si capisca.
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