Disuguaglianze con modulo e sottrazioni

[SARLANGA]

Si abbiano le due seguenti disuguaglianze $ \displaystyle \forall \varepsilon > 0 $, con $ \displaystyle \varepsilon $ reale:
$ \displaystyle \mid p-a \mid < \varepsilon $
$ \displaystyle \mid p-c \mid < \varepsilon $
Mettiamo che $ \displaystyle p $, $ \displaystyle a $ e $ \displaystyle c $ sono numeri reali. Come faccio a dimostrare rigorosamente che $ \displaystyle \forall \varepsilon > 0 $
$ \displaystyle \mid a-c \mid < \varepsilon $

Io avevo in mente di scrivere $ \displaystyle \mid p-c \mid = \mid (p-a)+(a-c) \mid $ ma il valore assoluto mi porterebbe ad usare la disugluaglianza triangolare, cioè - temo - fuori strada.

[edriv]

mi verrebbe da dire che
se un numero reale nonnegativo è minore di ogni reale positivo, allora questo numero a zero.
se il valore assoluto della differenza di due numeri è zero, allora i due numeri sono uguali.

In questo caso, l'ipotesi implica che p=a e p=c, da qui dimostriamo che a=c, che implica facilmente la tesi, essendo 0 minore di ogni reale positivo.

Non è che hai sbagliato il testo? (o che io l'ho interpretato male)

[SARLANGA]

Il fatto è che $ \displaystyle p, c, a $ non sono numeri reali, bensì successioni (il testo direbbe razionali) e quelle due disuguaglianze sono valide definitivamente (ovvero da un valore di $ \displaystyle n $ in poi.
Questo cambia tutto, suppongo...

[Gatto]

Se valgono definitivamente, vuol dire che esistono rispettivamente $ n_{\varepsilon}, m_{\varepsilon} $ per cui sono verificate per ogni valore maggiore.

Sia $ n = max(n_{\varepsilon}, m_{\varepsilon}) $, allora $ |a-c| = |a-p+p-c| \leq |a-p| +|p-c| $ eccetera eccetera

[SARLANGA]

hai ragione gatto, grazie!
Non riuscivo a trovare quella relazione.

[EvaristeG]

Uh che macello.
Se una cosa è una successione, scrivetela come una successione.
Quindi abbiamo $ \{a_n\}, \ \{c_n\}, \ \{p_n\} $ successioni di numeri reali tali che, per ogni $ \epsilon>0 $ esiste $ n_0 $ tale che
$ |a_n-p_n|<\epsilon $
$ |c_n-p_n|<\epsilon $
per ogni $ n\geq n_0 $.
Allora, fissato $ \epsilon $ esiste $ n_1 $ tale che
$ |a_n-p_n|<\epsilon/2 $
$ |c_n-p_n|<\epsilon/2 $
per ogni $ n\geq n_1 $ e dunque
$ |a_n-c_n|\leq|a_n-p_n|+|c_n-p_n|<\epsilon $
per ogni $ n\geq n_1 $.
Volevi questo?

[SARLANGA]

$ |a_n-c_n|\leq|a_n-p_n|+|c_n-p_n| $

Mi spieghi questo passaggio? Se volevi applicare la disuguaglianza triangolare, io non la vedo...e poi - forse non ho capito - secondo te quello che ha fatto gatto (ovviamente riscritto con le notazioni corrette delle successioni) non è giusto?

[EvaristeG]

Onestamente, non mi sembra che il post precedente al mio abbia una conclusione... quell'eccetera non vuol dire nulla.
Per quanto riguarda quel passaggio, è esattamente l'unico che c'è anche nel post di gatto, quindi perché ora non lo capisci più?

$ |a-b|\leq |a-x|+|b-x| $
è esattamente la disuguaglianza triangolare....

[SARLANGA]

Ok, grazie pre la chiarificazione. E' assolutamente la disuguaglianza triangolare, solo che ero abituato a vederlo come "il valore assoluto della somma è minore o uguale alla somma dei valori assoluti" (detto in parole spicciole).

[Tibor Gallai]

SARLANGA: ma queste cose le devi studiare per scuola, o che cosa? Stai ponendo dei quesiti palesemente non olimpici, stai cercando palesemente di leggere un testo che sta definendo una costruzione dei reali, e stai arrancando come una bestia.
Se sapere come sono definiti i reali è una tua velleità e non un'imposizione, forse ti può essere utile sapere che:
1) olimpicamente è irrilevante,
2) tentare di farlo senza le basi che evidentemente ti mancano è poco saggio.

[SARLANGA]

SARLANGA: ma queste cose le devi studiare per scuola, o che cosa? Stai ponendo dei quesiti palesemente non olimpici, stai cercando palesemente di leggere un testo che sta definendo una costruzione dei reali, e stai arrancando come una bestia.
Se sapere come sono definiti i reali è una tua velleità e non un'imposizione, forse ti può essere utile sapere che:
1) olimpicamente è irrilevante,
2) tentare di farlo senza le basi che evidentemente ti mancano è poco saggio.

Sai, un post come quello sopra non andrebbe neanche considerato. Ma siccome in questo forum regna la gentilezza, ti dico pacatamente che lavorare sui moduli e le disuguaglianze (in questo caso sulle successioni) è a mio avviso utilissimo per prepararsi a delle olimpiadi. Al contrario, intervenire nelle discussioni (a volta senza neanche leggere i thread) con sentenze che sembrano - te lo confesso - misere e perdipiù arroganti e con l'intento di seminar zizzania mi pare del tutto fuori luogo. Spero di esserti stato d'aiuto.

[Tibor Gallai]

Ti dico: se sei un troll, ti considero un professionista.

[Gatto]

quell'eccetera non vuol dire nulla.

Finiva semplicemente con $ \leq \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon $... non l'ho scritto semplicemente perchè se stava seguendo il discorso era immediato, se non lo stava seguendo era inutile che copiasse.

Riguardo alle notazioni mea culpa, avrei dovuto metterne di più umane invece che usare quelle del testo.