Problema archimede 1998
Problema archimede 1998
Siano date due cerchi tali che la circonferenza dell'uno passi per il centro dell'altro. Determinare l'area di intersezione dei due, se il raggio di ciascuna circonferenza è 1
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Congiungendo il centro ai punti d'intersezione si vede che l'angolo relativo a quel settore circolare è di 120° e che quindi bisogna sottrarre l'area del triangolo equilatero di base 1 dalla terza parte dell'area del cerchio di raggio 1 e moltiplicare il resto per due.
Ultima modifica di OriginalBBB il 12 dic 2009, 22:08, modificato 1 volta in totale.
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Dunque allora. Innanzitutto come fai a dire che quello è un angolo di 120 gradi? poi: allora se tu trovi la terza parte della circonferenza di raggio 1 e togli da questa l'area di un triangolo equilatero di raggio 1 trovi: quella piccola sezione laterale esterna al triangolo verso destra e mezza parte della terza parte della circonferenza. se ora moltiplichi per due ti manca una "piccola sezione" esterna!
Allora OCB è equilatero perchè i lati sono raggi, ODB è equilatero per lo stesso motivo, tu sai che gli angoli di un triangolo equilatero valgono 60°, 60°+60°=120° (COD(angolo) è la somma di due degli angoli dei triangoli)Willy67 ha scritto:Dunque allora. Innanzitutto come fai a dire che quello è un angolo di 120 gradi? poi: allora se tu trovi la terza parte della circonferenza di raggio 1 e togli da questa l'area di un triangolo equilatero di raggio 1 trovi: quella piccola sezione laterale esterna al triangolo verso destra e mezza parte della terza parte della circonferenza. se ora moltiplichi per due ti manca una "piccola sezione" esterna!
Adesso prendi in considerazione solo il cerchio a sinistra, prendi in considerazione il settore circolare formato dai punti OCD puoi calcolarlo poichè conosci l'angolo, a quello sottrai l'area del triangolo OCD(triangolo), troverai l'area delimitata dalla corda e dall'arco CD, che è metà dell'intersezione.
Spero che mi sia spiegato bene.
Original ha invece tolto l'area del triangolo equilatero perchè in questo modo evita di calcolare CD.
Ultima modifica di Claudio. il 12 dic 2009, 23:19, modificato 1 volta in totale.
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Pensavo fosse evidente la cosa dei 120° Scusatemi allora. Pensa alla costruzione dell'esagono data la circonferenza circoscritta
Prendi il triangolo abc, per costruzione è equilatera, prendi abd, anche questa è equilatera, quindi l'angolo acd è di 120°
La terza parte della circonferenza, il settore di 120°, colorata in rosso ora, e possiamo pensarla fatta di due pezzi, il triangolo acd e la parte sottesa all'arco. La seconda ci serve e la teniamo, la prima la buttiamo tutta per poter poi moltiplicare la seconda per due. La prima parte quindi, il triangolo acd, e fatto di due pezzi che ricombinati ti danno il triangolo equilatero di lato 1. Togliamo quindi questi due pezzi del settore circolare e ci rimane la metà della nostra intersezione.
Tu avevi colto il triangolo sbagliato prima, ma anche in quel caso potevi vedere che la zona dell'arco vicino alla lettera e che ora è bianco bilanciava quello che dicevi veniva tolto
Prendi il triangolo abc, per costruzione è equilatera, prendi abd, anche questa è equilatera, quindi l'angolo acd è di 120°
La terza parte della circonferenza, il settore di 120°, colorata in rosso ora, e possiamo pensarla fatta di due pezzi, il triangolo acd e la parte sottesa all'arco. La seconda ci serve e la teniamo, la prima la buttiamo tutta per poter poi moltiplicare la seconda per due. La prima parte quindi, il triangolo acd, e fatto di due pezzi che ricombinati ti danno il triangolo equilatero di lato 1. Togliamo quindi questi due pezzi del settore circolare e ci rimane la metà della nostra intersezione.
Tu avevi colto il triangolo sbagliato prima, ma anche in quel caso potevi vedere che la zona dell'arco vicino alla lettera e che ora è bianco bilanciava quello che dicevi veniva tolto
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In generale, quando due circonferenze sono secanti
Prendendo due circonferenze di ugual raggio (raggio unitario) al variare della distanza tra i centri, l'angolo sotteso alla corda che ha per estremi i due puntii d'intersezione equivale all'angolo che ha per coseno la metà distanza tra i due centri.
Fissando invece il passaggio per il centro, al variare dei raggi l'angolo dell' cerchio minore sotteso alla corda equivale al doppio dell'angolo che ha per coseno il rapporto tra la metà dellraggio minore e quello maggiore. Per l'angolo del cerchio maggiore invece basta vedere i triangoli isosceli e togliere a 360 il doppio dell'angolo trovato (o il quadruplo di quello di cui conosciamo il coseno), altrimenti detto, togliere a 180 l'angolo relativo al cerchio minore.
Prendendo due circonferenze di ugual raggio (raggio unitario) al variare della distanza tra i centri, l'angolo sotteso alla corda che ha per estremi i due puntii d'intersezione equivale all'angolo che ha per coseno la metà distanza tra i due centri.
Fissando invece il passaggio per il centro, al variare dei raggi l'angolo dell' cerchio minore sotteso alla corda equivale al doppio dell'angolo che ha per coseno il rapporto tra la metà dellraggio minore e quello maggiore. Per l'angolo del cerchio maggiore invece basta vedere i triangoli isosceli e togliere a 360 il doppio dell'angolo trovato (o il quadruplo di quello di cui conosciamo il coseno), altrimenti detto, togliere a 180 l'angolo relativo al cerchio minore.