Dimostrazione Semplice.
Dimostrazione Semplice.
Dimostrare che la somma di numeri dispari consecutivi a partire da 1 è sempre un quadrato perfetto.
(scusatemi se era già stato postato....probabilmente sarà un classico )
(scusatemi se era già stato postato....probabilmente sarà un classico )
Induzione!
Per $ n=1 $ la tesi è verificata.
Ora mostriamo che se vale $ 1+3+5+...+n=k^2 $ allora sarà $ 1+3+5+...+n+(n+2)=z^2 $ per qualche $ k,z \in \mathbb{N} $.
Notiamo anzitutto che $ 1+3+5+...+n=\frac{(n+1)^2}{4}=(\frac{n+1}{2})^2 $. Si ha quindi $ \displaystyle 1+3+5+...+n+(n+2)=(\frac{n+1}{2})^2+(n+2)=\frac{(n+1)^2+4n+8}{4}=\frac{n^2+6n+9}{4}=(\frac{n+3}{2})^2 $
L'ultimo membro dell'uguaglianza è intero poichè $ n+3 $ è pari. La tesi è quindi verificata.
Chi pensa a farlo per via grafica?
Per $ n=1 $ la tesi è verificata.
Ora mostriamo che se vale $ 1+3+5+...+n=k^2 $ allora sarà $ 1+3+5+...+n+(n+2)=z^2 $ per qualche $ k,z \in \mathbb{N} $.
Notiamo anzitutto che $ 1+3+5+...+n=\frac{(n+1)^2}{4}=(\frac{n+1}{2})^2 $. Si ha quindi $ \displaystyle 1+3+5+...+n+(n+2)=(\frac{n+1}{2})^2+(n+2)=\frac{(n+1)^2+4n+8}{4}=\frac{n^2+6n+9}{4}=(\frac{n+3}{2})^2 $
L'ultimo membro dell'uguaglianza è intero poichè $ n+3 $ è pari. La tesi è quindi verificata.
Chi pensa a farlo per via grafica?
Tu sei alle prima armi? LoL
Mi sa che hai sbagliato qualcosa...per come l'hai scritto tu l'n alla fine della sommatoria non è necessariamente dispari.
Comunque senza induzione:
Possiamo scrivere la somma di numeri dispari consecutivi come:
$ 2(0)+1+2(1)+1+2(2)+1+.....+2(n)+1 $
Raccogliendo il 2 e sommando gli 1:
$ 2(0+1+2+...+n)+1+n $
Scriviamo l'interno della parentesi come:
$ \not2(\frac{n(n+1)}{\not2})+n+1=n^2+n+n+1=(n+1)^2 $
Mi sa che hai sbagliato qualcosa...per come l'hai scritto tu l'n alla fine della sommatoria non è necessariamente dispari.
Comunque senza induzione:
Possiamo scrivere la somma di numeri dispari consecutivi come:
$ 2(0)+1+2(1)+1+2(2)+1+.....+2(n)+1 $
Raccogliendo il 2 e sommando gli 1:
$ 2(0+1+2+...+n)+1+n $
Scriviamo l'interno della parentesi come:
$ \not2(\frac{n(n+1)}{\not2})+n+1=n^2+n+n+1=(n+1)^2 $
Ultima modifica di Claudio. il 09 dic 2009, 22:59, modificato 1 volta in totale.
tu non puoi saperlo perchè sei nuovo, ma molti problemi con il tag "da lasciare a chi è alle prime armi" rimangono senza risposte, perchè gli individui alle prime armi scarseggiano su questo forum... quindi tanto vale che la soluzione per quanto semplice sia scritta da qualcuno di più espertoClaudio. ha scritto:L'ho messo per chi è alle prima armi con le dimostrazioni e in questo forum raramente trova cose per lui....io l'ho già dimostrato
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
una somma dei primi n numeri dispari è n^2 in quanto area di un quadrato di lato n.
Infatti identificando con un punto ogni numero intero ( in onore al padre Pitagora e soci ) o con una lettera per indicare che ogni punto fa parte di numeri differenti si avrà:
$ 1+3 $
A B
B B
[/tex]1+3+5$ A B C B B C C C C $1+3+5+...+n$ A B C ... N B B C ... N C C C ...N ......... ...N N N N N N Va bene come disostrazione? $
Infatti identificando con un punto ogni numero intero ( in onore al padre Pitagora e soci ) o con una lettera per indicare che ogni punto fa parte di numeri differenti si avrà:
$ 1+3 $
A B
B B
[/tex]1+3+5$ A B C B B C C C C $1+3+5+...+n$ A B C ... N B B C ... N C C C ...N ......... ...N N N N N N Va bene come disostrazione? $
Ho lasciato sottointeso che $ 1+3+5+...+n $ indicasse la somma dei primi $ \frac {n+1}{2} $ numeri dispari. Se vuoi scriviamo $ \displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N} \cap [0,n]}{2i+1} $ cosi siamo tutti più contenti (soprattutto Jordan) .Claudio. ha scritto:Tu sei alle prima armi? LoL
Mi sa che hai sbagliato qualcosa...per come l'hai scritto tu l'n alla fine della sommatoria non è necessariamente dispari.
Vale anche sempre per induzione ma in altri modi?ndp15 ha scritto:Induzione!
Per $ n=1 $ la tesi è verificata.
Ora mostriamo che se vale $ 1+3+5+...+n=k^2 $ allora sarà $ 1+3+5+...+n+(n+2)=z^2 $ per qualche $ k,z \in \mathbb{N} $.
Notiamo anzitutto che $ 1+3+5+...+n=\frac{(n+1)^2}{4}=(\frac{n+1}{2})^2 $. Si ha quindi $ \displaystyle 1+3+5+...+n+(n+2)=(\frac{n+1}{2})^2+(n+2)=\frac{(n+1)^2+4n+8}{4}=\frac{n^2+6n+9}{4}=(\frac{n+3}{2})^2 $
L'ultimo membro dell'uguaglianza è intero poichè $ n+3 $ è pari. La tesi è quindi verificata.
Chi pensa a farlo per via grafica?
Penso che basti qualcosa del tipo
*) $ ~ 1+3 = 2^2 $
**) $ $ \sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2 $
***) $ $ \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 $
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
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- Messaggi: 69
- Iscritto il: 09 nov 2009, 14:25
Prendiamo l'n esimo numero dispari, la somma con tutte le precedenti sarà
n + n-2+n-4+n-6+n-8+n-10+.....1=
n (n+1)/2 – (n+1)(n-1)/4 =
(2n^2+2n-n^2+1)/4 che è il quadrato di ((n+1)/2)^2
Altrimenti possiamo altrimenti scrivere i numeri dispari come
2(1+2+3+...n) – 1(n)=
2(n(n+1)/2)-n=
n^2 + n -n = n^2
n + n-2+n-4+n-6+n-8+n-10+.....1=
n (n+1)/2 – (n+1)(n-1)/4 =
(2n^2+2n-n^2+1)/4 che è il quadrato di ((n+1)/2)^2
Altrimenti possiamo altrimenti scrivere i numeri dispari come
2(1+2+3+...n) – 1(n)=
2(n(n+1)/2)-n=
n^2 + n -n = n^2