Dimostrazione Semplice.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Claudio.
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Dimostrazione Semplice.

Messaggio da Claudio. » 08 dic 2009, 23:40

Dimostrare che la somma di numeri dispari consecutivi a partire da 1 è sempre un quadrato perfetto.

(scusatemi se era già stato postato....probabilmente sarà un classico )

Il_Russo
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Messaggio da Il_Russo » 09 dic 2009, 09:54

Dimostrarlo in più modi possibili
Aderisci anche tu al progetto "Diamo a Nonciclopedia una sezione matematica indecente"

Presidente della commissione EATO per le IGO

Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 09 dic 2009, 14:16

L'ho messo per chi è alle prima armi con le dimostrazioni e in questo forum raramente trova cose per lui....io l'ho già dimostrato

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 09 dic 2009, 14:28

Induzione!
Per $ n=1 $ la tesi è verificata.
Ora mostriamo che se vale $ 1+3+5+...+n=k^2 $ allora sarà $ 1+3+5+...+n+(n+2)=z^2 $ per qualche $ k,z \in \mathbb{N} $.
Notiamo anzitutto che $ 1+3+5+...+n=\frac{(n+1)^2}{4}=(\frac{n+1}{2})^2 $. Si ha quindi $ \displaystyle 1+3+5+...+n+(n+2)=(\frac{n+1}{2})^2+(n+2)=\frac{(n+1)^2+4n+8}{4}=\frac{n^2+6n+9}{4}=(\frac{n+3}{2})^2 $

L'ultimo membro dell'uguaglianza è intero poichè $ n+3 $ è pari. La tesi è quindi verificata.

Chi pensa a farlo per via grafica?

Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 09 dic 2009, 14:42

Tu sei alle prima armi? LoL
Mi sa che hai sbagliato qualcosa...per come l'hai scritto tu l'n alla fine della sommatoria non è necessariamente dispari.
Comunque senza induzione:


Possiamo scrivere la somma di numeri dispari consecutivi come:
$ 2(0)+1+2(1)+1+2(2)+1+.....+2(n)+1 $
Raccogliendo il 2 e sommando gli 1:
$ 2(0+1+2+...+n)+1+n $
Scriviamo l'interno della parentesi come:
$ \not2(\frac{n(n+1)}{\not2})+n+1=n^2+n+n+1=(n+1)^2 $
Ultima modifica di Claudio. il 09 dic 2009, 22:59, modificato 1 volta in totale.

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 09 dic 2009, 14:47

Claudio. ha scritto:Tu sei alle prima armi? LoL
Di fronte a certi problemi sono proprio disarmato a dir la verità :lol:
Comunque ho messo solo una possibile dimostrazione, non ho mica tolto lavoro ai novellini.

Claudio.
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Messaggio da Claudio. » 09 dic 2009, 14:51

Ho modificato il post di prima, mi sa che hai fatto un'errore se non sbaglio.

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Maioc92
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Messaggio da Maioc92 » 09 dic 2009, 15:19

Claudio. ha scritto:L'ho messo per chi è alle prima armi con le dimostrazioni e in questo forum raramente trova cose per lui....io l'ho già dimostrato
tu non puoi saperlo perchè sei nuovo, ma molti problemi con il tag "da lasciare a chi è alle prime armi" rimangono senza risposte, perchè gli individui alle prime armi scarseggiano su questo forum... quindi tanto vale che la soluzione per quanto semplice sia scritta da qualcuno di più esperto :P
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!

Willy67
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Messaggio da Willy67 » 09 dic 2009, 16:28

una somma dei primi n numeri dispari è n^2 in quanto area di un quadrato di lato n.
Infatti identificando con un punto ogni numero intero ( in onore al padre Pitagora e soci :) ) o con una lettera per indicare che ogni punto fa parte di numeri differenti si avrà:
$ 1+3 $
A B
B B
[/tex]1+3+5$ A B C B B C C C C $1+3+5+...+n$ A B C ... N B B C ... N C C C ...N ......... ...N N N N N N Va bene come disostrazione? $

ndp15
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Messaggio da ndp15 » 09 dic 2009, 17:07

Claudio. ha scritto:Tu sei alle prima armi? LoL
Mi sa che hai sbagliato qualcosa...per come l'hai scritto tu l'n alla fine della sommatoria non è necessariamente dispari.
Ho lasciato sottointeso che $ 1+3+5+...+n $ indicasse la somma dei primi $ \frac {n+1}{2} $ numeri dispari. Se vuoi scriviamo $ \displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N} \cap [0,n]}{2i+1} $ cosi siamo tutti più contenti (soprattutto Jordan) :) .

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Haile
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Messaggio da Haile » 09 dic 2009, 17:16

ndp15 ha scritto:Induzione!
Per $ n=1 $ la tesi è verificata.
Ora mostriamo che se vale $ 1+3+5+...+n=k^2 $ allora sarà $ 1+3+5+...+n+(n+2)=z^2 $ per qualche $ k,z \in \mathbb{N} $.
Notiamo anzitutto che $ 1+3+5+...+n=\frac{(n+1)^2}{4}=(\frac{n+1}{2})^2 $. Si ha quindi $ \displaystyle 1+3+5+...+n+(n+2)=(\frac{n+1}{2})^2+(n+2)=\frac{(n+1)^2+4n+8}{4}=\frac{n^2+6n+9}{4}=(\frac{n+3}{2})^2 $

L'ultimo membro dell'uguaglianza è intero poichè $ n+3 $ è pari. La tesi è quindi verificata.

Chi pensa a farlo per via grafica?
Vale anche sempre per induzione ma in altri modi?

Penso che basti qualcosa del tipo

*) $ ~ 1+3 = 2^2 $

**) $ $ \sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2 $

***) $ $ \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1) = n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 $
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 09 dic 2009, 17:37

Vi farei notare che ogni volta che mettete i puntini vi state pericolosamente avvicinando ad usare l'induzione.

OriginalBBB
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Messaggio da OriginalBBB » 09 dic 2009, 19:26

Prendiamo l'n esimo numero dispari, la somma con tutte le precedenti sarà

n + n-2+n-4+n-6+n-8+n-10+.....1=

n (n+1)/2 – (n+1)(n-1)/4 =

(2n^2+2n-n^2+1)/4 che è il quadrato di ((n+1)/2)^2

Altrimenti possiamo altrimenti scrivere i numeri dispari come

2(1+2+3+...n) – 1(n)=

2(n(n+1)/2)-n=

n^2 + n -n = n^2

Gauss91
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Messaggio da Gauss91 » 09 dic 2009, 19:51

$ n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 $: un numero (n+1) al quadrato è il quadrato del numero precedente (n) più l'n-esimo numero dispari.
Questo basta per la tesi.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"

OriginalBBB
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Messaggio da OriginalBBB » 09 dic 2009, 20:09

Complimenti! :lol:

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